Convergenza delle serie di Fourier 
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e scegliamo un numero intero positivo h, in modo che sia 
(4) 
Poi, indicato con z m (x) il segno del termine a n>) cos n m x 
4- ò n sen n m x della (2), consideriamo un x qualunque di (0, 2ir) 
ed il prodotto 
P v ,r{ Z ) = 11 i 1 + Zhs+r{M) cos n hs + r z), 
dove r indica un qualunque numero intero tale che 1 <; r < li. 
È evidentemente, per ogni z di (0, 2rc), P V)l .(s) 0 ; e perciò, 
supposto f(x) <L in tutto |0, 2tc), abbiamo 
o 
0 
perchè, nello sviluppo di P v , r {z), tutti i termini, tranne quello 
costante, che è uguale ad 1, hanno un integrale definito, ri 
spetto a z, nullo sull’intervallo (0, 2n). 
D’ altra parte, sviluppando il prodotto P v , r {2), e trasformando 
i prodotti dei coseni, che via via si formano, in somme di co 
seni, si ottiene 
(6) P v , r (s) = 1 + S e hs +,.(x) cos n hs+r z + S c { , cos | y,, j z, 
dove Yn è un numero intero della forma 
1^ = 2 =tzn 
con 2, gli Si essendo degli interi scelti fra i numeri 0,1,2....V, 
e tutti fra loro diversi. Supponendo i termini del secondo mem 
bro di (7) ordinati in modo che gli s, vadano crescendo (onde 
il massimo degli sj sarà s f ), abbiamo, per la (1), 
^7is É -+-»’ ^ ^ ^ 
> ^ ih ^hs t _ 9 +r 
> ^ U ~ l)h n hi +r