Osservazione. — Dal teorema di Szidon segue che, se f(x) 
è una funzione integrabile in (0, 2n) e superiormente (od in- 
della forma (2), con gli indici n m soddisfacenti alla (1), la f(x) 
deve coincidere, in quasi-tutto (0, 2tc), con una funzione continua 
in tutto (0, 2n) ed assumente gli stessi valori uei punti 0 e 2n. 
99. - Considerazioni generali 
a) Da quanto si è esposto sino ad ora, risultano almeno 
tre metodi per dimostrare la convergenza (semplice) di una 
serie di Fourier. 
l.° Metodo. — Il primo di questi metodi è fondato sui ri 
sultati del Cap. I, relativi alle serie trigonometriche generali. 
Calcolati i coefficienti di Eulero-Fourier, e quindi costruita 
effettivamente la serie di Fourier della data funzione f(x), si 
cerca di dimostrare la sua convergenza sfruttando i criteri 
dati nel Cap. I per la convergenza di una qualunque serie 
trigonometrica (sia o non sia una serie di Fourier). 
Si voglia, per esempio, dimostrare la convergenza della serie di Fourier 
della funzione data, in (0, 2rc), da f(x) — x. Per i calcoli già fatti nel n.° 46, 
questa serie è 
e siccome la serie di seni, qui racchiusa fra parentesi, ha i coefficienti 
tutti positivi, decrescenti e tendenti a zero, i risultati del n.° 14 ci con 
sentono di affermare che essa è sempre convergente. 
2.° Metodo. — La convergenza di una serie di Fourier, 
anziché essere stabilita mediante la conoscenza effettiva dei 
suoi coefficienti, può essere dedotta direttamente dalle pro 
prietà della funzione generatrice f{x), utilizzando i teoremi dei 
n. 1 42 e 43, oppure quelli dei n. 1 96 e 97. 
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