Capitolo Vili. 
INTEGRALI CLASSICI 
§ 1. L’ INTEGRALE DI POISSON. 
143. - Definizione dell’integrale di Poisson. 
Sia f(x) una funzione integrabile sull’ intervallo (0, 2n), e, 
indicati con a„ e b n i suoi coefficienti di Eulero-Fourier, con 
sideriamo la serie 
2 a 0 + r (a L cos x H- 6, sen x) 
r n (a n cos nx -+- 6„ sen rìc) -l 
Per ogni r tale che 0<r< 1 e per ogni x di (0, 2 7t), questa 
serie converge assolutamente. Ed infatti, poiché, per il teorema 
di Riemann-Lebesgue del n.° 77, è a n —0, ò n — 0, quando n- 
esiste un numero positivo H tale che sia, per tutti gli n, 
b n | < H, 
e pertanto, qualunque sia x di (0, 2tc), la serie dei moduli dei 
termini della (1) è minore di 
2H(1 H- r -p- r- -\- r 
Di qui segue anche che, per ciascun r soddisfacente alla con 
dizione 0^r < 1, la (1) converge uniformemente, rispetto alla x, 
in tutto (0, 2tc); e segue pure che, se è 0-< 1, la (1) con 
verge uniformemente rispetto a tutti gli r tali che 0 r < r t 
ed a tutti gli x di (0, 2n). Dunque la (1) rappresenta, per ogni x.