Serie trigonometriche generali 
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genti (‘). Per assicurare la convergenza occorre dunque una 
condizione più restrittiva di quella ora indicata. 
Un criterio immediato per la convergenza è dato dalla con 
vergenza assoluta delle due serie Ha n e 26 n . In tal caso, come 
già si è osservato, la serie 
^ a 0 -h E (a n cos nx -t- b n sen nx) 
converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, in tutto 
l’intervallo (0, 2n). Di più, essendo sempre 
[ a n cos nx b n sen nx j <; | a n j -t- \ b n |, 
la serie trigonometrica converge uniformemente in tutto (0, 2tz) 
ed ivi rappresenta una funzione continua. 
Così, se si ha la serie (già considerata da Eulero) 
sena; senbsc sen5cc sen Ix 
V 
sen 3x sen 5x 
—gì 1 gì“ 
7- 
si può dir subito che essa è convergente ed anche assolutamente e uni 
formemente convergente in tutto (0, 2n), perchè la serie dei moduli dei suoi 
coefficienti ^ (2n""i~~lp ^ convergente. Si vedrà, più innanzi, che la sua 
7t 3jl 
somma è nx in (0, U ; - (n — ìc) in U, e, infine, | (x—2n) in f-X, 2n j. 
3 re 
11. - Alcune somme fondamentali. 
Prima di dare altri criteri di convergenza, stabiliremo delle 
forinole sommatorie che ci saranno molto utili. 
Consideriamo, in primo luogo, la somma 
s n {x) = ^ -f- cos x -t- cos 2x h- .... cos nx. 
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0) La prima di queste serie fu costruita da H. Steinhaus (Sur une sèrie 
trigonométrique divergente, C. R. Société scientifique de Varsovie, 5 a annata, 
1912, pp. 223-227). 
Prima dello Steinhaus, IST. Lusin ( Ueber eine Potenzreihe, Rend. Circ. 
Mat. di Palermo, t. XXXII (1911), pp. 386-390) aveva costruito una serie 
trigonometrica tale che a n —-0, b n —► 0, e non convergente in quasi-tutto (0,2-). 
Sulle varie possibilità che, rispetto alla convergenza, può presentare una 
serie trigonometrica, v. L. Xeder, Zur Konvergenz der trigonometrischen 
Reihen ecc. (Inauguraldissertation, Göttingen, 1919, pp. 1-47). 
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