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Serie doppie di Fourier 
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rier (1) del n.° 162, consideriamo la somma parziale s iJtjV (i£, y) 
di tale serie [n.° 162, formula (4)] e poniamo 
(1) 
1 l^- 1 v-l 
) ==: ~ ^ ^ lì)' 
pV m ■_ o n=0 
Questo v (x, y) sarà detto polinomio trigonometrico di Fejér, 
in due variabili, cVordine (p— 1, v — 1), relativo alla f(x, y). 
Analogamente a quanto si è fatto nel caso delle funzioni 
di una sola variabile, possiamo porre a [Jl)V (a?, y) sotto forma di 
integrale, nel seguente modo. Utilizzando la (5) del n.° 162, e 
procedendo come nel n.° 58, abbiamo 
(2) «**>.*) = 
Q 
sen p 
X — a' 
2 ! y — 3' 2 
sen v — 
sen 
x — a 
sen 
p - Jdoi dß, 
ed anche, con le posizioni del n.° 162, 
(3) Vvl*, y) = ~ J jV H- 2«, y + 2„)(^J(^) S d* *. 
0 0 
In particolare, per f(x, y) = 1, si ha 
tt:2 tt:2 
A 
(4) 1 
71:2: tì: 
=_L f 1 
sen pu\~ sen vv) 
du dv. 
pv J J \ sen u ! \ sen v 
0 0 
Osservando che, se è 0 < S t < tc;2, 0<o 2 <tt:2, si ha 
'sen vv\ 
du dv 
4 - 1' \F (x + 2u,y + 2v)( S ^}\ 
rrpvj J v 7 \ sen u / \ sen v, 
Si Su 
" u>vsen4,«e^S;if 1 f[x ’ *>I 
Q 
per ^ | —► oo, possiamo affermare che, se è X > 0, sulla conver 
genza di crp., v (a? 0 , y tl ), per ^ | — oo, hanno influenza soltanto i va 
lori della funzione f(x, y) nei punti che soddisfano ad almeno 
una delle disuguaglianze \x — x 0 \ < X, \y — y {) | < X.