Serie doppie di Fourier 
497 
dalle disuguaglianze 0 < it < 5, 0 < t? < 5, segua W(it, v) < euv, 
si ha 
JjV(», V) 
o o 
È dunque, per p e v entrambi maggiori di un certo numero N, 
*/) —$(«, y) I < 2e, 
e ciò prova il teorema enunciato ( 1 ). 
b) Se f(x, y) è una funzione integrabile e limitata nel 
quadrato Q, in quasi-tutto Q si lia che, presi ad arbitrio due 
numeri X e A, tali che 0 < X < A, il polinomio trigonometrico 
di Fejér, a^ v (a?, y). tende a f(x, y), al tendere di p e di v a oo, 
in modo che sia sempre X < p : v < A. 
In primo luogo, se il punto (x, y) di Q è tale che, preso 
ad arbitrio un p > 0 e minore di 1, si abbia, in esso, 
U V 
(3) 
o o 
per u e v positivi, tendenti a zero, in modo che sia sempre 
p<u:v<Zl‘.p, dimostriamo che, presi ad arbitrio X e A, con 
0<X<A, è v (x, y)~*0(x, y) per [iev tendenti aoo, in modo 
che sia sempre X<p;v<A. 
Infatti, dalla (2), si trae 
0 0 
con Ap >v -~ 0, per ^ | —oo, e tutto si riduce a studiare il com 
portamento dell’integrale ora scritto. 
Fissati X e A, con 0 < X < A, consideriamo un p positivo 
e minore di 1. Per l’ipotesi ammessa relativamente al punto 
( 4 ) Se la f(x, y) non soddisfa alla condizione (L), si ha a^vgc, y)—~ ®(x, y) 
in quasi-tutti i punti (x, y) in cui vale la (1). 
( 2 ) Qui supponiamo che la f(x, y) venga definita in tutto il piano (x, y) 
per mezzo della solita doppia periodicità. 
TONELLI 
32