Serie trigonometriche generali 
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ed applicando la trasformazione di Brunacci-Abel e tenendo 
conto della (4), abbiamo (n.° 12) che la convergenza del primo 
membro della precedente uguaglianza sussiste se e soltanto 
se converge la serie 
oo 
2 & n Sfi(oc). 
n- 2 
Applicando anche a questa nuova serie la trasformazione 
di Brunacci-Abel, abbiamo che, quando sia, per n-~oo, 
wA n a w (ie)—0, 
(5) 
tale serie converge se e soltanto se converge la 
oo 
Ai • 
(6) 
Ora, da quanto dimostreremo in seguito ('), risulterà che, 
in quasi-tutto (0, 2n), a 7ì (x) tende ad un limite finito, per n~~oo. 
La (5) è perciò verificata, in quasi-tutto (0, 2tu), in virtù di 
quest’ ultimo fatto e della (3) ; di più, per essere sempre A M ' > 0 
e per essere convergente la 2bzA M ', anche la serie (6) risulta 
convergente in quasi-tutto (0, 2n). Concludiamo che, in quasi- 
tutto (0, 2tu), è convergente anche la serie (2). 
6) Se è, per ogni n, 
dove c ed a sono due costanti tali che sia c > 0, a >• la serie 
trigonometrica (2) è convergente in quasi-tutto (0, 2tt) ( 2 ). 
In virtù del teorema dato in a), basterà provare che la 
serie (1) è convergente. 
(q V. n.i 91 e 62. 
(-) Questo teorema fu dimostrato da Fatou (loc. cit. in ( l ) a pag. 22), 
nell’ipotesi a > 1, da F. Jerosch e G. Weyl (Ueber die Konvergenz von 
Reihen die nach periodischen Funktionen fortschreiten. Math. Annalen, Bd. 
LXVI (1909), pp. 67-80) per x > 2; 3, da W. H. Youxo (Sur les series de 
Fourier convergentes presque partout. Comptes rendus, t. CLV (1912), 
pp. 1480-1482) per a > 1 • 2.