Serie trigonometriche generali 
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20. - Metodo di Eulero-Lagrange per sommare le serie tri 
gonometriche. 
a) Consideriamo la serie (già sommata da D. Bernoulli) 
„, sen2a? sen3a? 
(1) sena? 4 s 1 o 
la quale, come si è già detto nel n.° 14, è ovunque conver 
gente, e di più converge uniformemente in ogni intervallo di 
(0, 2tc) che non contenga i punti 0 e 2n. Questa serie è il coef 
ficiente della parte immaginaria della serie 
(2) 
per z = e ix . Per tale z, la parte reale di (2) è data da 
cos 2x cos 3x 
(3) 
COS X 
4- ... 
serie che è convergente (n.° 14) in tutto (0, 2tt), estremi esclusi, 
e che converge uniformemente in ogni intervallo che escluda 
0 e 2n. Dunque la serie (2) converge, per z — e ix , in tutto (0, 2%), 
esclusi 0 e 2n. E siccome la (2) ha, per \z \ <C 1, come somma 
log ^ ^ , e precisamente quel ramo di questa funzione che, 
per z — 0, ha il valore 0, ne viene, per un noto teorema di 
Abel sulle serie di potenze, che (1) e (3) hanno per somma, 
in tutto (0, 2n), estremi esclusi, rispettivamente il coefficiente 
della parte immaginaria e la parte reale di 
log ^ '~ e ùè = — log 11 — e ix | — i arg (1 — e ix ), 
intendendo di prendere P argomento di 1 — e ix in modo che sia 
— 271 < arg (1 — e ix ) < 0, per 0 < x < 7t, 
0 < arg (1 — e ix ) < 2u, per u < x < 2n. 
Ora è 
e perciò 
1 — e ix — (1 — cos x) — i sen x, 
log 11 — e ix | = log Y'2(l — cos x) = log ^2 sen ;