(4) 
cp(c) = cp(e?) — cp'(c) = cp'(d) = 0 ; 
Serie trigonometriche generali 
Applicando il teorema del n.° 21, abbiamo 
77 
F(a) cos nxdx 
ri 2 nj 
o 
F(a) sen nxdx, 
o 
e quindi 
2t: 
—r = — I F(x) cos nx cos nx + sen nx sen nx dx 
11' 7CJ ’ 
0 
ossia 
2tt 
A n — I F(x) cos n(x — x)dx . 
o 
E siccome, per quanto abbiamo già detto, A n tende a zero, 
uniformemente in tutto (0, 2tc), ne viene 
n •—► oo 
0 
uniformemente per tutti gli x di (0, 27t). 
Se moltiplichiamo la prima delle (2) per sen nx, la seconda 
per cos nx, e poi sottragghiamo membro a membro, otteniamo 
anche 
(3') 
lim ri 2 | F(x) sen n(x — x)dx = 0, 
o 
pure uniformemente per tutti gli x di (0, 2n). 
11 lemma di Eiemann, che ora vogliamo dimostrare, gene 
ralizza questi risultati, che dipendono unicamente dall’ ipotesi 
a„—0, 6 n —0. 
6) Supposto a n —0, 6 n — 0; supposto che la funzione cp(x) sìa 
definita in un intervallo qualunque (c, d) e sia ivi continua, 
insieme con la derivata prima cp' (x) ; supposto che in tutti i 
punti di (c, d), esclusi al più alcuni di essi in numero finito, 
esista finita la derivata seconda cp" {x) ed essa sia a variazione 
limitata in tutto (c, d) ; e supposto, infine, che sia