§ 4] auf Grund empirischer Werte g7
tung von [q/] 2 bei gegenseitiger Unabhängigkeit der Variablen X und Y
genau (ic beträgt, aber es ist mir bis jetzt nicht gelungen, den
Nachweis zu liefern. Wäre dies tatsächlich so, so hätte man wenigstens für
den Pall der gegenseitigen Unabhängigkeit von X und Y durch den Ab
zug von ^ vom Werte von [V] J einen empirischen Ausdruck
erhalten können, dessen mathematische Erwartung dem Werte von <p 2
unter dieser Annahme genau gleich wäre. ’
In ähnlicher Weise läßt sich die Streuung von [<p]' berechnen. Im
allgemeinen Falle eines beliebig gestalteten Abhängigkeitsgesetzes fin
den wir:
N
22^-
i j F i\ y \j
«2
V.
L »i
^ J
>2
lg
'S 1 AJ
" v s
+22
p.
i\
pl pf
¿¿mmJ Y)
\j \/=i Vi
2
S p!
i\g
' + •
Im Falle der gegenseitigen Unabhängigkeit der Variablen X und Y
verschwindet in das Glied der Größenordnung Die Streuung
von [<jp f ] ist demnach bei gegenseitiger Unabhängigkeit der Variablen
von der Größenordnung und der mittlere Fehler von [cp'j — von
der Größenordnung •
D. In gleicher Weise lassen sich die mathematischen Erwartungen
aller derjenigen Funktionen der empirischen Werte berechnen, die durch
das Einsetzen der Häufigkeiten an die Stelle der Wahrscheinlichkeiten
in die Formeln, welche die apriorischen Größen definieren, gebildet wer
den. Die Rechnungen sind meistens sehr umständlich — namentlich
wenn man sich mit der Berechnung des Gliedes der Ordnung ^ nicht
.begnügt —, aber bieten keine besonderen Schwierigkeiten, selbst wenn
höhere Genauigkeit angestrebt wird. Bloß darf man nicht außer acht
lassen, daß die mathematische Erwartung einer ungeraden Funktion
der Differenzen dp^ usw. stets Glieder derselben Größenordnung in
^ enthält, wie die mathematische Erwartung der nächst höheren ge
raden Funktion, so daß man beim Streben nach höherer Genauigkeit
stets einen doppelten Schritt zu machen hat, indem man in der Reihen
entwicklung nach den Potenzen der Differenzen dp f| usw., außer den
nächstfolgenden ungeraden, auch die auf dieselben folgenden geraden
Glieder heranzieht. Durch Nichtbeachtung dieser Vorschrift haben sich
die englischen Statistiker gelegentlich schwerwiegenden Fehlern aus-
gesetzt.
8. Die mühsamen Kalkulationen lassen sich in vielen Fällen etwas
‘vereinfachen dadurch, daß man statt der Differenzen der Häufigkeiten