96 Sechstes Kapitel: Schätzung apriorischer Größen [§ 4 
umständlich und setzen die Aufmerksamkeit und die Geduld des Bech- 
ners auf eine harte Probe, wenn auch ihre Ausführung auf keine prinzi 
piellen Schwierigkeiten stößt. Die ihnen zugrunde liegende Annahme, 
daß die mathematischen Erwartungen der höheren Potenzen der be 
treffenden Differenzen nur entsprechend höhere Glieder in enthalten, 
trifft in allen Fällen zu, wo die herangezogenen Funktionen der empiri 
schen Werte sich in Beihen nach den Potenzen der Differenzen dp'. t , dp[^ 
usw. entwickeln lassen. Man nehme etwa an, daß eine Funktion der 
empirischen Werte z' sich durch z' = c + <£, + d 2 + + d± + 
darstellen läßt, wobei c eine Konstante bezeichnet, d x die Summe der 
Glieder, welche die Differenzen dp\, usw. in der ersten Potenz enthal 
ten; d 2 die Summe der Glieder, welche die zweiten Potenzen der Diffe 
renzen dp' u usw. enthalten; usw. Man hat dann: £_z'=c-{-^d it -r 
+ E [^3 + ^4] + ' • • » dz' = z' — j£z' = D + J.- k, wenn D = d x + d 2 + • •. 
und k = — { E d 2 -j- E [d* + d *\ + * • * } gesetzt werden. Hieraus 
erhält man: 
E {<&') 8 ‘ = E ‘ + (*i) £ * E ‘- 1 + • • • + sb tr l 
und überzeugt sich leicht, daß E {dz' } 2h keine Glieder enthält mit niedri 
geren Potenzen von ^ als G^-Jund daß E{^'| 2A+1 keine Glieder ent 
hält mit niedrigeren Potenzen von ^als Man braucht sich also 
nur an die Vorschrift zu halten, die Beihenentwicklungen nach den Po 
tenzen von dm' uo , ¿¿'usw. an Gliedern gerader Ordnung abzubrechen, 
um die BeihenentWicklung von E u ' nach den Potenzen von bis 
zum Gliede der Größenordnung — hoch die Hälfte der Ordnungs 
zahl des letzten behaltenen Gliedes in dm 1]Q , dp UQ usw. korrekt zu er 
halten. Diese Vorschrift muß aber streng beobachtet werden. Ihre gele 
gentliche Vernachlässigung hat einige Untersuchungen der englischen 
Statistiker mit Fehlern belastet, durch welche die erzielten Ergebnisse 
zum Teil wesentlich entstellt worden sind. 
E. Die Beihenentwicklung nach den Potenzen von Jr setzt voraus, 
daß Glieder höherer Ordnungen in ^ klein genug sind, damit die Ge 
samtheit der auf das letzte beizubehaltende Glied folgenden Glieder 
vernachlässigt werden dürfe. Dies läßt sich eigentlich nur durch Kon 
vergenzuntersuchungen bzw. durch die Analyse des Bestgliedes streng 
begründen. So weit pflegen jedoch die Statistiker vorläufig nicht zu 
gehen. Meistens beschränkt man sich auf die Berechnung und die Be 
trachtung des Gliedes der Größenordnung ^ • In sehr wenigen Fällen 
ist das Glied der Größenordnung \ 2 berechnet worden. Hier liegt für