§6]
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auf Grund empirischer Werte
§6.
1. Die Strammheit der stochastischen Verbundenheit zwischen Y
und X tritt am leichtesten faßbar in dem Ausmaße zum Vorschein, in
welchem der Spielraum der zufälligen Schwankungen von Y durch die
Festlegung des Wertes von X reduziert wird. Wir pflegen die Stramm
heit der Verbundenheit zwischen Y und X nach dem Verhältnisse der
durchschnittlichen bedingten Streuung von Y — 2p. — zur Ge-
i *1 I 2
samtstreuung von Y — /¿ 0|2 — zu beurteilen, wobei die apriorischen
Werte der bedingten Streuungen auf Grundlage der zufälligen
Werte der empirischen Streuungen geschätzt werden. Eine ge
wisse Vorstellung von der Strammheit der Verbundenheit läßt sich je
doch gewinnen, auch ohne daß auf die Werte der Größen und /rjö
zurückgegriffen wird.
Man nehme an, daß die Zahl der Versuche die Zahl der möglichen
Werte von X nicht übersteigt und daß zufällig X bei allen Versuchen
verschiedene Werte annimmt. Jedem beobachteten Werte von X wird
dann nur ein Wert von Y entsprechen. Keine einzige unter den beding
ten Streuungen von Y kann also, sei es noch so grob, geschätzt werden.
Und doch gestattet unter Umständen das so gestaltete empirische
Material, die Strammheit der Verbundenheit ziemlich sicher zu be
urteilen.
Es erscheint freilich unter solchen Verhältnissen weder das Vor
handensein eines funktionellen Zusammenhanges zwischen Y und X
noch das Vorliegen einer mehr oder weniger losen stochastischen Ver
bundenheit ausgeschlossen. Die einzelnen Punkte mögen noch so launen
haft zerstreut liegen, Gesetze des funktionellen Zusammenhanges, welche
für die beobachteten Abszissenwerte die beobachteten Ordinatenwerte
liefern, lassen sich doch stets aufstellen. Anderseits erscheint stets die
Vermutung naheliegend, daß die empirisch zufälligen Werte von Y
von den betreffenden bedingten mathematischen Erwartungen mehr
oder weniger abweichen und die wahre Regressionslinie von Y in bezug
auf X sich mit der durch die beobachteten Werte angedeuteten nicht
ganz genau deckt. Beide Möglichkeiten sind nicht ohne weiteres von der
Hand zu weisen. Aber die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ge
staltungen des Abhängigkeitsgesetzes bleiben durch das Aussehen der
die beobachteten Werte wiedergebenden Linie nicht unberührt: eine ge
gebene Aufeinanderfolge der einzelnen Punkte läßt die mögliche Gestalt
der wahren Regression und die Strammheit der Verbundenheit als sich
bis zu einem gewissen Grade gegenseitig bedingend erscheinen. Die An
nahme des Nicht-Korreliertseins von Y mit X kann z. B. die Annahme
einer größeren Strammheit so gut wie ausschließen, falls die einzelnen
Punkte sich deutlich genug an eine Linie anschmiegen, welche keine
der W-Achse parallele Gerade ist. In gleicher Weise können die An-