Kap. 6] 
Anhang 
129 
x = 0 
N 
-2 
1 • 2 .. (x — 1) x 
N(N-l)--- (N—x +1) 
v’ (l-p) y -’ = 
1-2... (*-1) 
»*2 
(N-1) •• (iV-x + 1) 
1 • 2...(x-l) 
P* (1 —P) 
iV-z. 
substituiert man hier t -f-1 für x, so wird 
N-1 
(Y-l) 
= Np ^ 
1-2...# 
iiV-1 
= ^2? [p + (l — p)]" 1 =Np. 
Bei Ziehungen ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit, bei N 
Ziehungen x weiße Kugeln zu ziehen, falls die Urne B ~Ap weiße und 
C = A (1 — p) schwarze Kugeln enthält, gleich 
p __ N (N— 1) • • -(N-x + 1) B(B-l)---(B-x + l)C(C-l)--.(C-N+x+l) 
1 ■ 2... x 
A(A-1)...(A-N+1) 
wobei ^¡P = 1 ist. In gleicher Weise, wie oben, findet man 
E n=]?P x x = 
MW-D 
(A-xd- 1) (B-1)- • • (B-x + 1) C(C-1) • • • (C-Y+xd-1) 
(A-1)...(4-AT+1) 
(N-t) (B-l)---(B-t) C{C-l)---(C~N+t+2) 
= Np; 
A 1 -2... (x-1) 
z = l v 
iV-1 
= Nyy ( *-Jl- 
1-2... t (4-1) ..(4-JV+l) 
denn die Summe, mit welcher Np multipliziert wird, ist nichts anderes, 
als die Summe der Wahrscheinlichkeiten, 0, 1, 2, . . ., N—1 weiße 
Kugeln zu ziehen bei N — 1 Ziehungen ohne Zurücklegen aus einer 
Urne, welche B — 1 weiße und C schwarze Kugeln enthält. 
Beachtet man, daß x 2 = x(x — 1) -\-x ist, so erhält man in ähn 
licher Weise bei Ziehungen mit Zurücklegen 
En 2 -^P x x 2 =N(N~l)p 2 +Np = N 2 p 2 +Np(l-p) 
und hieraus 
s » = E[y-E^] = Ep-r=^p(i-p) 
und bei Ziehungen ohne Zurücklegen 
NB N 
A ~ A{A 
und hieraus 
r- 2 NN-l)B(B-l) , NB N 2 B(B-1) , NBf.. 5-11 
E” = — -¿ü=i]— + w = + ~ä l 1 “A=ii 
2 B z B (A—B) TA 1 *]_ 
^ _t Ar 2 A 2 A*(A-DLiV J 
N 
A-N 1 
4-1 N 
p(l-p).