und funktioneller Zusammenhang 
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§2] 
von X ist Y keine Variable mehr, sondern erhält einen ganz bestimmten 
Wert: ist X gleich 3, so ist Y gleich 9; ist X gleich 5, so ist Y gleich 25. 
Der Begriff der stochastischen Verbundenheit läßt sich verall 
gemeinern, so daß er auf den Fall von beliebig vielen Variablen anwend 
bar wird. Wenn nach der Festlegung der Werte von X, Y, Z, U der 
Wert der Variablen T eindeutig bestimmt wird oder die Variable T 
mehrere verschiedene Werte annehmen kann, aber diesen Werten keine 
bestimmten Wahrscheinlichkeiten zukommen, so steht T im funktionellen 
Zusammenhänge mit X, Y, Z, U. Hingegen ist T stochastisch mit X. 
Y, Z, U verbunden, falls T auch nach der Festlegung der Werte von X, 
von Y, von Z und von U verschiedene Werte mit bestimmten Wahr 
scheinlichkeiten annehmen kann. Man bezeichne z. B. mit T die Summe 
der mit drei verschiedenfarbigen Würfeln geworfenen Zahlen, mit X — 
die mit dem weißen Würfel geworfene Zahl, mit Y— die mit dem roten 
Würfel geworfene Zahl. Auch unter der Annahme, daß X und Y be 
stimmte Werte haben, kann T mit gleichen Wahrscheinlichkeiten von 
je | sechs verschiedene Werte annehmen, je nachdem ob mit dem dritten 
Würfel 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. 
Zu beachten ist die für den Statistiker höchst wichtige Möglichkeit, 
daß T sowohl mit X wie mit Y, wenn sie einzeln betrachtet werden, 
stochastisch verbunden ist, aber nach der Festlegung der Werte der 
beiden Variablen X und Y die Eigenschaft der zufälligen Variablen ver 
liert. Wenn T die Summe der mit einem weißen und einem roten Würfel 
geworfenen Zahlen bezeichnet, so ist T sowohl mit der Zahl, welche auf 
dem weißen Würfel erscheint, wie mit derjenigen, welche mit dem roten 
Würfel geworfen wird, stochastisch verbunden. Sobald jedoch die 
beiden Zahlen feststehen, ist auch der Wert von T eindeutig festgelegt: 
hat man mit dem weißen Würfel 1 und mit dem roten Würfel 6 geworfen, 
so hat T den Wert 7, andere mögliche Werte gibt es dann für T nicht 
mehr; der Zusammenhang ist zu einem funktionellen geworden. 
Diese Art der gegenseitigen Beziehungen zwischen drei Variablen 
bildet ein Gegenstück zum funktionellen Zusammenhänge einer Variablen 
mit zwei unabhängigen nicht zufälligen Variablen. Wollen wir etwa 
den Zusammenhang der Siedetemperatur der Lösung von Kochsalz im 
Wasser mit der Konzentration der Lösung und dem Druck auf die 
Wasseroberfläche betrachten. Die Kombination der Werte vonX und von 
Y bestimmt in diesem Falle eindeutig den Wert von T: bei gegebener 
Konzentration und gegebenem Druck steht auch die Siedetemperatur 
fest. Aber zwischen der Siedetemperatur und dem Druck bei unbestimmt 
bleibender Konzentration gibt es keinen faßbaren Zusammenhang. Auf 
die Frage, bei welcher Temperatur eine Kochsalzlösung unter dem 
atmosphärischen Druck zu sieden beginnt, gibt es keine vernünftige 
Antwort. Die Frage bleibt sinnlos, solange keine näheren Bestimmungen 
in bezug auf die Konzentration hinzutreten. Diese näheren Bestimmun 
gen können die Form eines genauen Wertes annehmen, wie wir oben