§4, § 5] und funktioneller Zusammenhang 35 
Auge, so sieht man sofort ein, daß unter den gegebenen Voraussetzungen 
die bedingte mathematische Erwartung von w bei jedem Werte der Zahl 
der Ziehungen in der Serie gleich \ bleibt: w ist nicht korreliert mit n, 
und die Regression von w in bezug auf n wird durch eine Gerade dar 
gestellt, die parallel der Achse der w-Werte ist. Faßt man hingegen die 
bedingten Verteilungsgesetze der n-Werte ins Auge, welche verschiede 
nen Werten von w entsprechen, so erhält man eine ganz anders aus 
sehende Regressionslinie: sehr kleinen Werten von w einerseits, sowie 
solchen Werten von w, welche von 0.5 stark nach oben abweichen, 
anderseits, werden überwiegend kleine Versuchszahlen in den betreffen 
den Serien entsprechen; hingegen werden Werte von w, welche unerheb 
lich von 0.5 abweichen, überwiegend Serien mit größeren Versuchszahlen 
entstammen. Die Regression von n in bezug auf w wird also durch eine 
Kurve mit einem aufsteigenden und einem absteigenden Ast dargestellt. 
Im bekannten Lehrbuche von G. U. Yule 1 ) findet man die Regressions 
linien von w in bezug auf n und von n in bezug auf w an einem kon 
kreten Beispiele vorgeführt, nämlich an der Korrelation zwischen dem 
Sexualverhältnisse der Geborenen in verschiedenen Registrierungs- 
distrikten Englands und der Zahl der Geburten in den betreffenden 
Distrikten: das Bild entspricht dem obigen Schema ziemlich genau. 
§ 5. 
Wir sind jetzt an einem Punkte angelangt, der von grundlegender 
Bedeutung ist für das Verständnis des Wesens der statistischen Korre 
lationsforschung in ihrem Unterschiede von der naturwissenschaftlichen 
Gesetzesforschung. 
Die Regressionsgleichung von Y in bezug auf X bringt den funktio 
neilen Zusammenhang zwischen der bedingten mathematischen Erwar 
tung von Y und X zum Ausdruck. Der Form nach entspricht sie dem 
Gesetze des Naturforschers, welches den funktionellen Zusammenhang 
zwischen zwei Variablen zum Ausdruck bringt. Unter Umständen kann 
die Regressionsgleichung auch dem Sinne nach dasselbe enthalten, was 
die Gesetzesformel des Naturforschers verkündet. Fassen wir etwa das 
bereits betrachtete Beispiel der empirischen Feststellung des Zusammen 
hanges zwischen der Summe der Winkel eines Vielecks und seiner Seiten 
zahl wieder ins Auge. Nehmen wir an, daß die Beobachtungsfehler dem 
Gauß-Laplaceschen Fehlergesetze folgen. Die gemessenen Summen 
der Winkel der Dreiecke, der Vierecke usw. sind zufällige Variablen, und 
ihre mathematischen Erwartungen sind die betreffenden ,,wahren“ 
Werte: 180 Grad für die Dreiecke, 360 Grad für die Vierecke usw. Der 
funktionelle Zusammenhang zwischen der einem bestimmten Werte der 
Seitenzahl entsprechenden mathematischen Erwartung der Winkel 
summe und der Seitenzahl deckt sich in diesem Falle mit dem gesuchten 
1) Gr. Udny Yule, An introduction to the theory of statistics, p. 176 (1911); 
vgl. E. Czuber, Die statistischen Forschungsmethoden, S. 142.