und funktioneller Zusammenhang 
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§5] 
Kern des funktionellen Zusammenhanges zwischen den wahren Größen 
versteckt ist, auf den es dem Forscher allein ankommt, fühlt sich der 
Forscher mit Recht durch die Aufstellung der Regressionsgleichungen 
unbefriedigt. Dies ist für ihn kein definitives Forschungsergebnis. Das, 
was er wissen will, ist der wahre funktionelle Zusammenhang zwischen 
den wahren Werten von X und Y; die bedingten mathematischen Er 
wartungen von X und Y interessieren ihn an sich gar nicht; die For 
meln, welche den funktionellen Zusammenhang derselben mit den ent 
sprechenden Werten der anderen Variablen ausdrücken, sind für ihn 
nur als Stützpunkte bei seinem Ringen nach der Feststellung des die 
Werte von X und von Y verbindenden Gesetzes wertvoll. Will er z. B. 
das Gesetz entdecken, das die Siedetemperatur des Wassers mit dem 
Druck verbindet, so wird ihm durch die Aufstellung der Regressions 
gleichungen, welche die bedingte mathematische Erwartung der Siede 
temperatur mit dem Druck und die bedingte mathematische Erwartung 
des Drucks mit der Siedetemperatur verbinden, nicht gedient: sie brin 
gen nicht dasjenige zum Ausdruck, was er wissen will. Seine Aufgabe 
bleibt ungelöst, solange er bei den Regressionsgleichungen stehen bleibt. 
Erst wenn es ihm gelingt, durch zweckdienliche Behandlung der ihm 
vorliegenden stochastisch verbundenen Variablen zu dem hinter der 
stochastischen Verbundenheit verborgenen funktionellen Zusammen 
hänge vorzurücken, darf er sein Ziel als erreicht betrachten. In welcher 
Weise dies zu geschehen hat, ist eine Frage für sich, an die man erst in 
der letzten Zeit heranzutreten beginnt und auf die wir hier nicht ein 
zugehen brauchen. Für uns genügt, eingesehen zu haben, daß das 
Streben nach einer einheitlichen, das Gesetz des funktionellen Zusam 
menhanges zwischen X und Y darstellenden Gleichung in solchen Fällen 
berechtigt ist, und daß eine, solche Gleichung von den Regressionsglei 
chungen wesensverschieden ist. 
Ganz anders verhält es sich da, wo stochastisch verbundene zufällige 
Variablen den eigentlichen Gegenstand der Untersuchung bilden. Sind 
die zu untersuchenden Größen X und Y echte zufällige Variablen, 
welche in echter stochastischer Verbundenheit miteinander stehen, so 
besteht zwischen X und Y überhaupt kein funktioneller Zusammenhang: 
bestimmten Werten der einen Variablen lassen sich nicht bestimmte 
Werte der anderen Variablen zuordnen; hat X einen gewissen Wert, 
so kann Y eine Anzahl verschiedener Werte mit bestimmten Wahrschein 
lichkeiten annehmen, und keiner unter diesen Werten hat mehr Anrecht, 
als die anderen, für den Wert zu gelten, welcher dem betreffenden Werte 
von X entspricht. Eine Y mit X verbindende Gleichung ist in diesem 
Falle nicht, wie im vorigen Falle, schwer auffindbar, sondern man 
braucht nach ihr überhaupt nicht zu suchen, denn sie existiert nicht. 
Die gegenseitigen Beziehungen zwischen X und Y lassen sich wohl in 
verschiedenen Formen darstellen: durch das Abhängigkeitsgesetz wer 
den sie erschöpfend beschrieben; durch Regressionsgleichungen und auf