[§ 3 
§ 3] 
Abhängigkeitsgesetz 
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Unter den drei Parametersystemen zeichnen sich die Parameter r 
dadurch aus, daß sie abstrakte Zahlen sind; dies macht sie für die Ver 
gleichung der Abhängigkeitsgesetze besonders geeignet. Der erste in 
der Reihe der r-Parameter ist der bekannte KorrelationsJcoeffizient 
f l i\i 
li. „ ui. 
Pi i i 
c a.. 
Es läßt sich leicht zeigen, daß der Korrelationskoeffizient seinem abso 
luten Werte nach nicht größer als 1 sein kann. Da die mathematische 
Erwartung einer Variablen, welche keine negativen Werte annimmt, 
nicht negativ sein kann, ist 
Da nun anderseits 
1 
l l I 0 
y~ m on 
>0. 
[x — m 1 ,q] 2 __ £ [y — m 0 ul 
E{ 
v 
x — m ll0 
1 mi d r [¿c — m ll0 ] [y — m ol] ] 
6 * 6 v 
y — ™Oll] 2 . 
Hl 
= 1 
r 2 • 
111» 
E 
so ist 
U- I — 3 
V 111 °l 
hieraus erhält man: 
1 —»?,!> 0 und r\ n < 1. 
Die Parameter, welche die bedingten Verteilungsgesetze von Y cha 
rakterisieren, wollen wir dadurch kenntlich machen, daß wir oben in 
Klammern auf den betreffenden Wert von X hinweisen: so wird z. B. 
die bedingte mathematische Erwartung von Y bezeichnen, welche 
dem Werte X { von X entspricht, und ¡x^l wird die entsprechende be 
dingte Streuung von Y bezeichnen. Wir haben also der Definition gemäß: 
m n = 2 V® Vj> Pfl = 2 Pu [Vj — ^i i] 2 - 
j 3 
In ähnlicher Weise werden die Parameter der bedingten Verteilungs 
gesetze von X bezeichnet: 
m ( l\=2 Pu , P® = 2?® [*• — ] 2 . 
I 1 1 
Von den vielgestaltigen Beziehungen zwischen den bedingten und 
den nicht-bedingten Parametern wollen wir uns nur diejenigen merken, 
■welche die nicht-bedingten mathematischen Erwartungen der Variablen 
mit den Durchschnittswerten der bedingten mathematischen Erwartun 
gen und die nicht-bedingten Streuungen mit den Durchschnittswerten 
der bedingten Streuungen verbinden, da wir von diesen Beziehungen 
häufig Gebrauch machen werden. Aus den Definitionen lassen sich 
leicht folgende Identitäten ableiten: 
=SSeihte,—™„ 11 )-W?- m oi 1 )] > “ 
“Pin—??.K—J