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Viertes Kapitel: Das apriorische 
[§ 3 
Sind nun die Variablen gegenseitig unabhängig, so hat man für beliebige 
Werte von h 
m °h\ = m k\o bei ?'= 1, 2 
m^ h — m 0|A bei 4 = 1, 2, . . k 
und anderseits für beliebige Werte von / und von g 
m /|, = m /lo W ol, ^/l^/lo^ol. r f\9 == r f\o r o\g- 
Da ^,0= r o | x = 0, so ist in diesem Falle r m = Ü. 
Es läßt sich ferner beweisen, daß auch umgekehrt die Variablen un 
abhängig sein müssen, falls 
oder f*/l,= 'Vlo' u o! i > oder r /l,= r /lo r o|, 
ist bei beliebigen und selbst nur bei allen ganzzahligen positiven Werten 
von / und von g. 
2. Von den Parametern, welche die bedingten Verteilungsgesetze 
charakterisieren, kommt begreiflicherweise in erster Linie die bedingte 
mathematische Erwartung in Betracht. Wird der Zusammenhang zwi 
schen der bedingten mathematischen Erwartung von Y und den ent 
sprechenden Werten von X in analytischer Form ausgedrückt, so pflegt 
man, wie bereits erwähnt (Drittes Kapitel, § 4, 2), diese Gleichung als 
Regressionsgleichung von Y in bezug auf X zu bezeichnen: = f(x ; ) 
ist die Begressionsgleichung von Y in bezug auf X und m^=F(y^ 
ist die Regressionsgleichung von X in bezug auf Y. Das Wort „Regres 
sion“ hat ursprünglich in dieser Verbindung einen bestimmten Sinn ge 
habt, der jedoch später verloren gegangen ist, so daß es gegenwärtig 
als ein konventioneller Kunstausdruck zu betrachten ist, von dem alle 
etymologischen Reminiszenzen fernzuhalten sind. 
A. Im Falle, wenn die Regression von Y in bezug auf X die Form 
einer Parabel hat mit der Gleichung 
« i !i > = a ,o+“n x ,+ a tA+ ••• + a i/4’ 
lassen sich die Koeffizienten dieser Gleichung leicht durch die Parameter 
m, g und r ausdrücken. Man braucht nur die beiden Seiten mit p u x) 
zu multiplizieren, wobei h zunächst unbestimmt gelassen wird, und nach 
i zu summieren; da 2 V iX x \ — m h\i ist > so erhält man hierbei 
m h\ 1 = a \0 m h\Q a \ \ m h + 110 + • * - ~\~ a \f m h +/|0 * 
Wird in dieser Gleichung h gleich 0, 1, 2, . . . usw. bis / gesetzt, so er 
hält man / + 1 lineare Gleichungen, aus welchen sich die / +1 Koeffi 
zienten a in Determinantenform leicht bestimmen lassen. Setzt man 
diese Koeffizienten dann wieder in die allgemeine Gleichung mit un 
bestimmt gelassenem Werte von h ein, so erhält man eine Bedingungs 
gleichung, welcher die Parameter m genügen müssen, damit die Regres 
sion von Y in bezug auf X die Gestalt einer Parabel /-ten Grades habe.