48 
Viertes Kapitel: Das apriorische 
[§ 3 
Wortgebrauch, da eigentlich alle Koeffizienten in der Regressionsgleichung 
einer beliebigen Form mit gleichem Recht als Regressionskoeffizienten 
zu bezeichnen sind. Dieser Sinn des terminus technicus „Regressions 
koeffizient“ hat sich aber fest eingebürgert. Wird vom Regressions 
koeffizienten in aller Kürze gesprochen, so wird stets der Koeffizient 
o n = in der linearen Regressionsgleichung gemeint. 
Die Bedingungsgleichung, welcher die Parameter ja genügen müssen, 
damit die Regression von Y in bezug auf X geradlinig sei, hat eine ein 
fachere Gestalt, als diejenige, welche die Parameter m bindet: es muß 
nämlich —* t * 11 - == sein bei beliebigen ganzzahligen positiven Werten 
vonA. i "‘ + 1 ' 0 H ' a 
In ähnlicher Weise finden wir, falls die Regression von X in bezug 
auf Y linear ist, 
Ai) 
m: 
m no= \S.v- m »iJ= ^ y ~ 
und 
= A = 2, 3, 4,... 
f*0|Ä + l Po1 2 
Sind beide Regressionen geradlinig, so hat man gleichzeitig 6, t = v r 
G 2 X 
und.= ~r,, 1 . Hieraus ergibt sich, daß r 2, = — ftl 11 ist: das 
11 6 y 111 11 11 1 ' 1 ^210^012 
Produkt der Regressionskoeffizienten und & (1 ist der zweiten 
Potenz des Korrelationskoeffizienten identisch gleich, oder mit anderen 
Worten, der Korrelationskoeffizient ist dem geometrischen Mittel der 
beiden Regressionskoeffizienten & 1( und b n gleich. 
C. Setzt man in der linearen Regressionsgleichung von Y in bezug 
G 
auf X b n = ~r r in , so nimmt die Regressionsgleichung die Gestalt an: 
X 
Geht man nun zu sogenannten ,,normalen Koordinaten 1 ’’ über, indem man 
die auf der rechten und auf der linken Seite auftretenden Differenzen 
durch die betreffenden mittleren Fehler dividiert und 
yi) x i — m i i o 
JJ\ 
a 
m\i — ”*on 
= £, 
v 
11 ’ 
setzt, so nimmt die Regressionsgleichung eine Form an, welche für die 
algebraischen Rechnungen besonders bequem ist, nämlich 
Hieraus ergibt sich unmittelbar die Bedingung, welcher die Para 
meter r genügen müssen, damit die Regression von Y in bezug auf X 
linear sei: w i n o a 
r Aii Du Di + no ^ei h 2, 3, 4,... 
Der Übergang zu den normalen Koordinaten transformiert alle 
Koeffizienten in den Regressionsgleichungen in abstrakte Zahlen; hierin 
liegt der Vorzug dieser Darstellungsform. Ohne alle Rechnungen aus-