§3] 
Abhängigkeitsgesetz 
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zuführen, will ich noch die Regressionsgleichung in normalen Koordinaten 
für den Fall anführen, wo die Regression die Gestalt einer Parabel 
zweiten Grades hat: 
fl 
>••211— *3 10 r \ 
7 1 11 i 
-1 T 
'4 10 — r & I 0 “ 1 ' 1 111 r 4 I 0 — r 3 I 0 — 1 J * r 4 1 0 *3 I 0 ' 
Zu beachten ist, daß in diesem Falle das von freie Glied in der 
Gleichung nicht verschwindet, und ferner, daß bei r m = 0 die Regres 
sionsgleichung sich auf 
= —au—(x* -r 8l0 xi] 
11 flno“ •’ll'O— 1 l 3 J 
reduziert. Wir werden später Gelegenheit haben, auf diese Unterschiede 
von der linearen Regression zurückzukommen. 
Die Bedingungsgleichung dafür, daß die Regression von Y in bezug 
auf X durch eine Parabel zweiten Grades darstellbar sei, läßt sich in die 
Form kleiden: 
r,,! — r,,< r. . A r 9 M — r-t , 1 r* 
r 3IO [ r 2ll — r 3IO r lll] 
n-1 
r 2l 1 — r 3 10 r \ I 1 
1 
'All 
r l|l ' h + 1|0 
r l|l '310 
bei h = 3, 4, 5,... 
'A + 210 r A + 110 '3|0 'A10 '4|0 '310 x 
3. Im Falle, wenn die Variable Y mit der Variablen X nicht-korreliert 
ist, im Sinne der Pearsonschen Definition (vgl. Drittes Kapitel, § 4, 3), 
d. h. wenn die bedingte mathematische Erwartung von Y dieselbe bleibt 
bei allen Werten von X, reduziert sich die Regressionsgleichung von Y 
in bezug auf X auf — m 0 ,j = 0 bzw. 8^ = 0. 
Damit die Variable Y mit X nicht-korreliert sei, müssen die Parameter 
m, /1 und r die Bedingungen erfüllen: 
m h]l m h\0 m 0\l > l l h\l = ^ ’ Dill = ^ ^ei ^ = 1) 2, 3,... 
Setzt man in r,, n = 0& — 1, so erhält man r iu = 0. Das Nicht- 
Korreliertsein der Variablen Y mit X bedingt also, daß der Korrelations 
koeffizient gleich 0 wird. Es darf aber hieraus nicht geschlossen werden, 
daß umgekehrt, falls der Korrelationskoeffizient gleich 0 ist, die Va 
riablen unkorreliert seien: aus r x , 1 — 0 darf auf das Nicht-Korreliert 
sein nur dann geschlossen werden, wenn es feststeht, daß die Regression 
linear ist. Denn bei geradliniger Regression ergibt sich aus r in = 0 
unmittelbar m' | 1 1 ) = m 0|1 . Ist hingegen die Regression nicht linear, so 
folgt aus r llx = 0 durchaus nicht, daß sei: am Beispiele der 
parabolischen Regression haben wir es eben gesehen. Dies muß man sich 
genau merken. 
Ferner ist zu beachten, daß aus /i hn = 0 bei h = 1, 2, . . . nicht ge 
folgert werden kann, daß /¿ 1|A .= 0 sei bei h = 2, 3, ...: aus dem Nicht- 
Korreliertsein der Variablen Y mit X darf nicht auf das Nicht-Korre 
liertsein der Variablen X mit Y geschlossen werden. 
Sind die Variablen gegenseitig unabhängig, so sind sie auch nicht- 
korreliert. Dies folgt unmittelbar aus den Begriffsdefinitionen und läßt 
sich auch aus den Bedingungsgleichungen herauslesen; da , 0 = ( u 0 , l = 0