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§3] 
Abhängigkeitsgesetz 
interessieren pflegen. Die Bedeutung der Regressionsgleichung für den 
Forscher, welcher mit stochastisch verbundenen Variablen zu tun hat, 
ist derjenigen der Gesetzesformel im Falle des funktionellen Zusammen 
hanges ähnlich. Die Kenntnis der Gesetzesformel befähigt uns, vom ge 
gebenen Werte von X auf den Wert von Y zu schließen, ohne über un 
mittelbare Messungen von Y zu verfügen. In ähnlicher Weise vermittelt 
die Regressionsgleichung die Kenntnis des erwartungsmäßigen Wertes 
der Variablen Y, welcher jedem gegebenen Werte der Variablen X ent 
spricht. Die Möglichkeit, den Wert, welchen die Variable Y erhalten 
wird, mit Gewißheit vorauszuberechnen, wird zwar hierdurch nicht ge 
geben. Denn im Falle der stochastischen Verbundenheit behält die Va 
riable Y den Charakter einer zufälligen Variablen auch nach der Fest 
legung des Wertes von X, und ihre möglichen Werte schwanken nach der 
Festlegung des Wertes von X um die bedingte mathematische Erwar 
tung, wie sie vor der Festlegung des Wertes von X um die nicht-bedingte 
mathematische Erwartung schwanken. Aber das Maß der Schwankun 
gen, das durch den mittleren Fehler bzw. durch die Streuung gegeben 
wird, erscheint mehr oder weniger erheblich reduziert. Sieht man von 
der Regressionsgleichung ab und betrachtet die Variable Y außerhalb des 
Zusammenhanges mit X, so hat man mit der Streuung /¿ 0|2 zu rechnen. 
Ist man hingegen imstande, sich auf die Regressionsgleichung zu be 
rufen und für jeden gegebenen Wert von X von der entsprechenden be 
dingten mathematischen Erwartung rrtf\ auszugehen, so erscheint als 
Maß der Schwankungen, welches dem Werte Xi von X entspricht, die 
bedingte Streuung ¿u^. Da nun aber, wie wir gesehen haben, 
?p„ =(•» i, - 2p, , ,] a 
ist, so ist das Durchschnittsmaß der Schwankungen der nach der Fest 
legung des Wertes von X möglich bleibenden Werte von Y um die be 
treffenden bedingten mathematischen Erwartungen von Y, d. h. ^¡p. ^ jt/Fb 
geringer, als ¿a ol2 , außer in dem Falle, wenn = m 0 , 1 bei i— 1, 2,*-, & 
und die Variable Y mit X nicht korreliert ist. Im Falle der Nicht- 
korreliertheit gewinnen wir also nichts, wenn wir bei der Betrachtung 
der Variablen Y von dem Werte ausgehen, welchen X erhalten hat. 
In allen anderen Fällen bedeutet hingegen die Kenntnis des von X er 
haltenen Wertes, falls die Regressionsgleichung bekannt ist, für uns 
einen Gewinn, da sie uns befähigt, den zu erwartenden Wert von Y 
mit geringerer Unsicherheit vorauszuschätzen. 
6. In ähnlicher Weise, wie die bedingte mathematische Erwartung, 
lassen sich die anderen Maßzahlen behandeln, welche die bedingten Ver 
teilungsgesetze charakterisieren: die bedingte Streuung bzw. der be 
dingte mittlere Fehler, die verschiedenen Maße für die Asymmetrie des 
Verteilungsgesetzes usw. Sie werden als Funktionen der X-Werte dar 
gestellt ; die Koeffizienten der betreffenden Gleichungen lassen sich ver-