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Viertes Kapitel: Das apriorische § 4] 
liert ist. Die beiden Grenzwerte 0 und 1 haben also bei nicht-gerad 
liniger Regression nicht den Sinn, in welchem sie bei geradliniger Re 
gression zu interpretieren sind. Weiß man nicht von vornherein, daß 
die Regression geradlinig ist, so darf man vom Werte 0 des Korrelations 
koeffizienten nicht darauf schließen, daß die Variablen nicht-korreliert 
sind. Ebensowenig darf man davon, daß der Korrelationskoeffizient 
unter 1 bleibt, darauf schließen, daß kein funktioneller Zusammenhang 
vorliegt; es bleibt nicht ausgeschlossen, daß der Zusammenhang doch 
ein funktioneller, aber kein linearer ist. 
Wenn man also nicht sicher weiß, daß die Regression geradlinig ist, 
so muß man die zahlenmäßigen Werte des Korrelationskoeffizienten 
vorsichtig interpretieren. Um Mißdeutungen zu vermeiden, empfiehlt 
es sich in solchen Fällen, die Werte des Korrelationsverhältnisses zu be 
rechnen, welche bei beliebigen Abhängigkeitsgesetzen denselben Sinn be 
halten. Als Maß der Strammheit der Verbundenheit ist deswegen das 
Korrelations Verhältnis dem Korrelationskoeffizienten vorzuziehen. Der 
Korrelationskoeffizient darf eben nur dann als ein korrektes Maß der 
Strammheit auftreten, wenn er das Korrelationsverhältnis vertreten 
kann, da die zahlenmäßigen Werte der beiden zusammenfallen. Sonst 
wird die Strammheit der Verbundenheit systematisch unterschätzt, 
wenn sie mit dem Korrelationskoeffizienten gemessen wird. 
Das Interesse, welches an dem Werte des Korrelationskoeffizienten 
haftet, beschränkt sich jedoch nicht darauf, daß der Korrelationskoeffi 
zient unter gewissen Vorbehalten als ein passendes Maß der Strammheit 
der Verbundenheit zwischen den Variablen auftreten kann. Wir haben 
gesehen (vgl. oben § 3, 4.), daß selbst bei nicht-geradliniger Regression 
die Gerade, deren Gleichung in normalen Koordinaten ~ r in 
lautet, als eine approximative Darstellung der wahren Regressionslinie 
gelten darf und, als solche, stets ein gewisses Interesse für den Forscher 
bietet — sei es auch als eine Art vorläufiger Rekognoszierung auf dem be 
treffenden Gebiete. Diese Gerade zeigt uns, ob der bedingte erwartungs 
mäßige Wert von Y mit der Zunahme von X im Durchschnitte zu- oder 
abnimmt, und gibt außerdem das Durchschnittsmaß der Zu- bzw. Ab 
nahme an. Die Gleichung dieser Geraden wird nun durch den Wert des 
Korrelationskoeffizienten bestimmt. Ist der Korrelationskoeffizient po 
sitiv, so nimmt die bedingte mathematische Erwartung von Y mit dem 
Wachsen von X um so ausgesprochener zu, je größer der Korrelations 
koeffizient ist; ist der Korrelationskoeffizient negativ, so nimmt sie mit 
wachsendem X um so merklicher ab, je näher sich der Korrelations 
koeffizient an —1 stellt. Anderseits wird die Gleichung der Geraden, 
welche die wahre Regressionslinie von X in bezug auf Y am besten 
wiedergibt, ebenfalls durch den Wert des Korrelationskoeffizienten r ltl 
bestimmt. Der Wert des Korrelationskoeffizienten gibt uns somit auch 
im Falle nicht-geradliniger Regression in greifbarer Form eine ziemlich 
reichliche Information über die Verbundenheit zwischen den Variablen.