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§4,§5]
Abhängigkeitsgesetz
Gelegentlich läßt der zahlenmäßige Wert des Korrelationskoeffizien
ten bei geradliniger Regression besonders sinnfällige Interpretierungen
zu. Man nehme etwa an, daß mit m-weißen und w-roten Würfeln ge
würfelt wird und bezeichne mit U die Summe, welche mit den roten
Würfeln geworfen wird, mit W die Summe, welche mit den weißen Wür
feln geworfen wird, und setze X — U + W. Die weißen Würfel werden
liegen gelassen, die roten hingegen aufgehoben, im Becher geschüttelt
und wieder geworfen; man bezeichne mit T die mit den roten Würfeln
beim zweiten Versuch geworfene Summe und setze Y — W + T. Der
Korrelationskoeffizient zwischen X und Y läßt sich unter diesen Vor
aussetzungen leicht berechnen und stellt sich dem Verhältnisse der Zahl
der gemeinsamen Addenden — d. i. m — zur Gesamtzahl der Addenden
— m + n — gleich: r,, = —— ' Vom Werte des Korrelationskoeffi-
i o i' 1 m 4- n
zienten kann also auf die relative Zahl der liegenbleibenden weißen Wür
fel geschlossen werden . Das Schema dieses Beispiels läßt sich allgemeiner
fassen: wenn beide Variablen als Summen von gegenseitig unabhängigen
Addenden, welche demselben Verteilungsgesetze folgen, darstellbar sind,
so ist der Korrelationskoeffizient dem Verhältnisse der Zahl der gemein
samen Addenden zum geometrischen Mittel aus den Zahlen der Adden-
m
den in den beiden Summen gleich: r in
, falls durch
l/[m + »] [m +1]
m die Zahl der gemeinsamen Addenden, durch m -f n die Gesamtzahl der
Addenden in X und durch m +1 die Gesamtzahl der Addenden in Y
bezeichnet werden.
§ 5.
1. Eine besonders bevorzugte Stellung wird dem Korrelations
koeffizienten zuteil, wenn die stochastische Verbundenheit zwischen den
Variablen die Gestalt der sogenannten „normalen Korrelation“ hat.
Unter „■normaler Korrelation“ versteht man den Fall, wenn die Variablen
X und Y kontinuierlich alle Werte zwischen •— oo und + °° annehmen
können und die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens eines Wertes
von X, der zwischen x und x -\-dx liegt, mit einem Werte von Y, der
zwischen y und y Ydy liegt, gleich
fi-012 [a;-TO 1 |o] 2 -2 [y-m wi \ +^ 2 \o
2 [^210 /^012
1
dxdy
e
2jty^, 2|0 u 0 | 2 fi 1 li
ist. Setzt man hier:
so erhält man für die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens des
zwischen de und X-\-dX liegenden Wertes von X mit dem zwischen
und ^)+ dty liegenden Werte von Y in normalen Koordinaten den
Ausdruck:
^2 O*. «12
1
e
2»]/!—rf u