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Viertes Kapitel: Das apriorische [§ 5 
Das Abhängigkeitsgesetz wird also im Palle der normalen Korrela 
tion durch den Wert des Korrelationskoeffizienten bestimmt, zusammen 
mit den Werten der beiden mathematischen Erwartungen und der beiden 
Streuungen m ll0 , i* gl0 , m 011 , ft 0l2 , welche die Yerteilungsgesetze von X 
und von Y charakterisieren und zur Festlegung des Systems der nor 
malen Koordinaten gehören. Der Wert des Korrelationskoeffizienten 
erscheint mithin im Falle der normalen Korrelation als Schlüssel zu 
allem, was man über die stochastische Verbundenheit der Variablen 
zu wissen verlangen kann: kennt man den Wert von r m , so steht das 
Abhängigkeitsgesetz fest, und alles übrige läßt sich durch formal mathe 
matische Operationen deduzieren. 
Auf diese formal mathematischen Deduktionen werde ich nicht näher 
eingehen. Es sind Integrierungsaufgaben, welche im Falle von zwei 
Variablen keine Schwierigkeiten bieten. Ich werde bloß einige Ergeb 
nisse mitteilen, welche den Inhalt des für die statistische Theorie sehr 
wichtigen Begriffs „normale Korrelation“ genauer umschreiben. 
2. Da der Wert des Korrelationskoeffizienten r iu das Abhängigkeits 
gesetz bestimmt, so lassen sich im Falle der normalen Korrelation alle 
übrigen Maßzahlen als Funktionen von r i (x darstellen. 
Für die höheren r-Parameter erhält man folgende Werte: 
r 3 | i — r i 13 
= 3r m ^,2=1 + 2^ r 4l0 = 
= r ou 
i — 3 
r 5,l = 
ri\ 5 =15r\ 
1,1 i '4|2 = »-2|4=3[t + 4^, 1 ] »'3,3 = 
3 r i\ 
iP+2^,J 
r 610 = 
r 0|6 = 15 
Ww = ° 
r 2/|2A : 
= 1-3-5. .. 
(2/ — 1)-1 • 3-5. . .(2 h — l){l-P^ 1 -- 
t=i 
2 2i /- 
•2-3. 
- * 1 
• •(21) 111 j 
r 2/+l| 
2A+ 1 = 1 ‘ 3 
•5...(2/+l)-l-3-5...(2A + l)r lll V 
< = 0 
2 2t 
•2-3. 
/- h- „2t 
..(2<+l) 1,1 
wobei 
z-= z (z — l)(z — 2)... (z — t + 1). 
Das Abhängigkeitsgesetz ist symmetrisch. Die Verteilungsgesetze 
von X und von Y haben die Gestalt des Gauß-Laplaceschen Fehler 
gesetzes. Die Regression sowohl von Y in bezug auf X, wie von X in 
bezug auf Y ist geradlinig. Der Korrelationskoeffizient und die beiden 
Korrelations Verhältnisse sind folglich identisch gleich, und der Korre 
lationskoeffizient darf als ein zuverlässiges Maß der Strammheit der Ver 
bundenheit betrachtet werden. Ist der Korrelationskoeffizient gleich 0, 
.so ist _ _ _ 
r 2/ + 112 A +1 — " — ^2/+ 110 r 0l2A + 1 ’ 
»2/12A = 1 • 3 • 5... (2/- 1) • 1 • 3 • 5 ... (2Ä — 1) = r 2/10 r 0l2/i 
und die Variablen sind demnach (vgl. oben § 3, 1.) gegenseitig un 
abhängig. 
Alle bedingten Verteilungsgesetze sowohl von X, wie von Y haben 
.gleichfalls die Form des Gauß-Laplaceschen Fehlergesetzes. Die Ab-