Abhängigkeitsgesetz
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§6]
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der Gestalt der Regressionslinie von X in bezug auf Y beurteilen. x\ber die
gleichzeitige Betrachtung der beiden Regressionslinien gestattet, eine
gewisse Vorstellung von der Strammheit der Verbundenheit zu gewinnen.
Wenn die Variablen X und Y im funktionellen Zusammenhänge
stehen, ist die Gleichung, welche Y als eine explizite Funktion von X
darstellt, aus der Gleichung, welche X als eine explizite Funktion von Y
darstellt, ableitbar. Geht man von der Betrachtung der einen der Re
gressionslinien aus, so ist man stets imstande festzustellen, wie die andere
Regressionslinie auszusehen hätte, wenn der Zusammenhang zwischen
den Variablen ein funktioneller wäre. Wenn also die tatsächliche Re
gression der zweiten Variablen in bezug auf die erste eine abweichende
Gestalt aufweist, so darf man die Annahme, daß die Variablen in funk
tionellem Zusammenhänge miteinander stehen, als widerlegt betrach
ten: die Variablen sind dann stochastisch verbunden.
Man nehme etwa an, daß die Regression von Y in bezug auf X ge
radlinig ist und daß die Regressionsgleichung die Form mS'\ = a^-\-a n Xi
hat. Falls die beiden Variablen in funktionellem Zusammenhänge stehen,
deckt sich m\\ mit demjenigen Werte von Y, welcher dem Werte X t -
von X entspricht, wie anderseits m[ j) t sich mit demjenigen Werte von
X deckt, welcher dem Werte Yj von Y entspricht. Die Regressions
gleichung von Y in bezug auf X darf folglich unter der Annahme des
funktionellen Zusammenhanges in der Form y = a l0 -Ya n x geschrie
ben werden. Hieraus erhalten wir: x — — ^ l0 + —- y. Falls ein funk-
“u “ii
tioneller Zusammenhang zwischen den Variablen besteht, muß dem
nach die Regressionsgleichung von X in bezug auf Y in der Form
m U) _ — ^ +— y darstellbar sein. Wenn also die Linie der Regres
sion von X in bezug auf Y keine Gerade ist, oder wenn bei geradliniger
Regression von Win bezug auf Y in der Regressionsgleichung wX] = « l0 +
+ a,, y. der Koeffizient a,, von —- verschieden ist, so erscheint das Vor-
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handensein eines funktionellen Zusammenhanges zwischen X und Y
ausgeschlossen.
In ähnlicher Weise läßt sich in den Fällen, wenn keine der Regres
sionen geradlinig ist, entscheiden, ob die Annahme eines funktionellen
Zusammenhanges aufrechterhalten werden darf oder nicht.
Falls die beiden Regressionen geradlinig sind, sind wir imstande, die
Strammheit der Verbundenheit zwischen X und Y auf Grund der
beiden Regressionsgleichungen genau zu schätzen. Falls die Regressions
gleichungen die Form
m n= a ^+ a n x i und m K= a ®0i + °ii Vs
haben, ist das Produkt der Koeffizienten u, x und , der zweiten Potenz
des Korrelationskoeffizienten identisch gleich (vgl. oben § 3,2.): ci x , a n =
— rj, j. Sind die Koeffizienten a x und a n bekannt, so läßt sich der Wert