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§ 2] auf Grand empirischer. Werte 
der empirischen Werte der Variablen — TJ' —, welche die Bedingung er 
füllt, daß ihre mathematische Erwartung gleich TJ ist. Der zahlen 
mäßige Wert von TJ', welcher sich ergibt, falls jdie vorliegenden empiri 
schen Werte von X und von Y in die zur Definition von TJ' dienende 
Formel eingesetzt werden, wird als ein Näherungswert oder, wie wir viel 
mehr sagen wollen, als ein Präsumptivwert von U betrachtet. In jedem 
Einzelfalle kann der numerische Wert von TJ' mehr oder weniger von 
dem Werte von TJ abweichen, wobei der Spielraum solcher zufälligen 
Abweichungen durch die Größe des mittleren Fehlers von TJ' gekenn 
zeichnet wird. Aber im Durchschnitte werden diese zufälligen Abwei 
chungen, die bald nach der einen, bald nach der anderen Seite aus- 
schlagen, sich gegenseitig kompensieren; im großen und ganzen werden 
wir bei unseren Schätzungen das Ziel am sichersten treffen, wenn wir 
uns dauernd an dieses Schätzungsverfahren halten. Man nehme z. B. 
an, daß aus einer geschlossenen TJrne N Kugeln gezogen werden, wobei 
die weiße Kugel w-mal erscheint. Der Präsumptivwert der unbekannten 
Wahrscheinlichkeit p, eine weiße Kugel aus dieser Urne zu ziehen, kann 
gleich ^ gesetzt werden sowohl in dem Falle, wenn jede gezogene Kugel 
in die Urne zurückgeworfen wird, bevor die nächste Ziehung stattfindet, 
wie auch in dem Falle, wenn die gezogenen Kugeln in die Urne nicht 
zurückgelegt werden: denn unter beiden Annahmen stellt sich die 
mathematische Erwartung von ^ bei jeder Zahl der Ziehungen genau 
gleich p. Wollen wir nun das Experiment der W-Ziehungen aus einer 
Urne ¿-mal wiederholen, wobei wir entweder die gezogene Kugel stets 
in die Urne zurückwerfen, bevor die nächste Ziehung stattfindet, oder 
die gezogenen Kugeln erst nach dem Abschluß jeder Serie von W-Ziehun- 
gen in die Urne zurücklegen. Es seien: n x die Zahl der bei der ersten 
Serie von W-Ziehungen erschienenen weißen Kugeln, n 2 die Zahl der 
bei der zweiten Serie erschienenen weißen Kugeln usw. Laut dem uns 
als Leitsatz dienenden Gesetz der großen Zahlen wird bei hinreichend 
großem t zwischen + • • • + ^J un d der gesuchten apriorischen 
Wahrscheinlichkeit p kein großer Unterschied bestehen. Wenn wir also 
den Präsumptivwert von p dem Verhältnisse der Zahl der weißen Ku 
geln zur Gesamtzahl der Ziehungen gleichsetzen, so laufen wir zwar in 
jedem Einzelfalle die Gefahr, daß unsere Schätzung mit einem gewissen 
zufälligen Fehler behaftet sein wird und der von uns angenommene 
Präsumptivwert entweder größer als p oder geringer als p ausfällt. Aber 
auf die Dauer werden wir doch am besten fahren, falls wir bei unseren 
Schätzungen in dieser Weise vorgehen. 
Die Berechnung des mittleren Fehlers von TJ' gestattet uns hierbei, 
den Spielraum der zufälligen Fehler, mit welchen die Einzelschätzungen 
behaftet sind, abzustecken. Werden die gezogenen Kugeln in die Urne 
zurückgelegt, bevor die nächste Ziehung stattfindet, so stellt sich der 
Tschuprow, Korrelationstheorie 6