76 Sechstes Kapitel: Schätzung apriorischer Größen [§ 2 
mittlere Fehler der Quote der weißen Kugeln bekanntlich auf 
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Falls die gezogenen Kugeln in die Urne nicht zurückgelegt werden, stellt 
er sich auf — 
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wobei A die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne beim Beginne des Ex 
perimentes bezeichnet. Werden die gezogenen Kugeln nicht zurück 
gelegt, so gestaltet sich demnach die Schätzung sicherer als im Falle, 
wenn sie in die Urne zurückgelegt werden, bevor die nächste Ziehung 
geschieht, und die Sicherheit der Schätzung nimmt mit der Zunahme 
von N im ersten Falle schneller zu. Wird N ~ A, so wird in diesem Falle 
g ~—0 und die Schätzung erscheint als ganz sicher: wenn alle Kugeln aus 
der Urne gezogen werden, so können wir selbstverständlich ganz sicher von 
der Quote der weißen Kugeln auf die Größe der Wahrscheinlichkeit p 
schließen. 
2. Außer diesem Schätzungsverfahren wird vielfach zu einem gröbe 
ren gegriffen, welches sich in bezug auf die zu verwendende Funktion 
der empirischen Werte U' mit der Forderung begnügt, daß die mathe 
matische Erwartung von U' der gesuchten apriorischen Größe U mit 
der wachsenden Zahl der Versuche asymptotisch zustrebe, und auf die 
weiter gehende Forderung verzichtet, daß die mathematische Erwar 
tung von U' bei jeder endlichen Zahl der Versuche der apriorischen 
Größe U gleich sei. Der zahlenmäßige Wert einer so beschaffenen Funk 
tion U', welchen sie nach Einsetzen der vorliegenden empirischen Werte 
von X und Y erhält, wird als der Präsumptivwert von U betrachtet. 
Begründet wird diese Schätzungsweise durch den Hinweis darauf, daß 
bei einer einigermaßen großen Zahl von Versuchen der Wert der mathe 
matischen Erwartung von U' vom richtig geschätzten Präsumptiv- 
werte von U nicht stark abweichen könne, da die beiden bei unendlich 
groß werdender Zahl der Versuche zusammenfallen, und daß folglich 
die mathematische Erwartung von U' als ein Näherungswert des rich 
tigen Präsumptivwertes von U gelten dürfe. 
Mit besonderer Vorliebe wird dieses Verfahren in der Form angewandt, 
daß zur Schätzung einer Funktion der apriorischen Wahrscheinlichkeiten 
dieselbe Funktion der entsprechenden statistischen Häufigkeiten ge 
braucht wird, wobei man von dem Gedanken ausgeht, daß die nume 
rischen Werte der beiden Funktionen bei einer hinreichend großen An 
zahl von Versuchen nicht allzu weit auseinandergehen können, da die 
Häufigkeiten den ihnen zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten als 
Grenzwerten bei zunehmender Versuchszahl zustreben. So wird z. B. 
als Präsumptivwert der apriorischen Mean square Contingency (vgl.