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Sechstes Kapitel: Schätzung apriorischer Größen
[§3
Es gilt also festzustellen, inwieweit der Wert von <5' als Präsnmptivwert
von d zu dienen geeignet ist, ob es nicht bessere Schätzungsmethoden
gebe.
Da bekanntlich
so ist
[I
N
fld'=^vld.
Der Wert von d wird folglich systematisch unterschätzt, falls d' als der
Präsumptivwert von d betrachtet wird. Der systematische Schätzungs
fehler ist von der Größenordnung-^.-; er fällt also bei einer einigermaßen
großen Zahl von Versuchen nicht schwer ins Gewicht. Er läßt sich in
diesem Falle leicht beseitigen: man braucht nur den Präsumptivwert
von d nicht d , sondern j d gleichzusetzen; denn die mathematische
Erwartung von —^ d' ist der apriorischen Größe d bei jeder endlichen
Zahl von Versuchen gleich.
Wollen wir eine Vorstellung von der Sicherheit gewinnen, mit wel
cher der wahre Wert von d auf Grundlage der empirischen Werte von
N
j- 6’ geschätzt werden kann, so müssen wir den mittleren Fehler von
N
wZZJ ermitteln. Ich führe die Berechnung im einzelnen nicht aus, da
hierbei nichts prinzipiell Interessantes in Frage kommt, sondern teile
nur das Schlußergebnis mit:
N — 1
(p +V ) + p
2 12 '*111 *212' II
p {p +V ) — 4 d" I -f
2 *211 '‘*11 2 *211' -i
N
Ist d = 0, so ist die mathematische Erwartung von d' ebenfalls
gleich 0 und der mittlere Fehler von
N
jy—1
d' stellt sich gleich
Y—i Pii i°21 P\x P\2’ da bei d = 0 die Beziehungen bestehen: P ux —
= Px t P,l’ Pl|2=Pl,P|2 USW -
N
Nehmen wir anderseits an, daß ^ d' gleich 0 ist. Hieraus darf man
nicht ohne weiteres folgern, daß auch d gleich 0 sei und die Variablen
gegenseitig unabhängig seien. Es kann Vorkommen, daß d' zufällig
gleich 0 wird, obgleich d von 0 verschieden ist. Gleicherweise darf man
N
daraus, daß -yd f von 0 verschieden ist, nicht ohne weiteres folgern,
daß auch d von 0 verschieden sei und die beiden Variablen nicht un
abhängig seien. Auch hier kann die Hand des Zufalls im Spiele sein.