86
Sechstes Kapitel: Schätzung apriorischer Größen
2
[§ 4
"*1 V
—
P<IPI./ P
[Pi-Piu] \V\j-Vi\i\
N Pi\P\ } .Pi\j
' T" , T z 2 2 ~T -
^ Pi\P\jPi\j
C. Diese letzte Formel gestattet, das übliche Verfahren zur Schätzung
des Wertes der apriorischen Mean square Contingency auf Grundlage
des empirischen Materials kritisch zu würdigen. Definiert man die
apriorische Mean square Contingency als
<p* = V V [Pj\j-Pi\P\iY
ii Pi\P\j
vy %
4* 4* PilPl;
und bildet durch Einsetzen der Häufigkeiten p für die Wahrschein
lichkeiten p den empirischen Ausdruck
■ Pi i p\.j\ 2 = *s? S? \ ns
WY
•22^
* j
i
'i\f
1; 12
■\j N n i\ n \j\
p'i\Pu
n it n
*1 Ii
s y n i\j
¿Li jL-J Ut, n.
1,
"M '"Ii
so gilt der Wert von [<p] 2 als Präsumptivwert von cp 2 . Die mathe
matische Erwartung von [<p'Y wird erhalten durch das Einsetzen des
obigen Wertes von [[
j\i
n.-.n,
E Ai t*#-*
T ' V t o
2 2
+
üdj-
+ i f y'J?Pi\j(Pi-Pi\i)(P\j-Pi\i)( 2 Piii-Pi\ P\j) 1 + ...
N \ij Vi\P*j >
Wir überzeugen uns somit, daß die mathematische Erwartung von
r f-i? . 2 __
[cp J größer ist als cp , und daß wir folglich den Wert der apriorischen
Mean square Contingency systematisch überschätzen, falls wir den Wert
von [cp ] als ihren Präsumptivwert gelten lassen. Diesen systematischen
Fehler in der Weise, wie vorhin bei d, zu beseitigen, sind wir jedoch nicht
imstande: aus unserer Eeihenentwicklung ist nicht zu ersehen, wie
M zu modifizieren wäre, damit man auf eine Funktion der empiri
schen Werte komme, deren mathematische Erwartung dem apriorischen
Werte von <p bei jeder endlichen Versuchszahl genau gleich ist.
Bei gegenseitiger Unabhängigkeit der Variablen X und Y ist «p“ = 0,
wogegen wir für die mathematische Erwartung von [9]“ den Wert
r[\PP_(£-l)G-l) , (k-l)(l-l) ,
tpPJ ~ N • N* 1
erhalten. Es ist höchstwahrscheinlich, daß die mathematische Erwar-