Art. 101—106. 
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Beweis folgt aus den definierenden Konstruktionen für Bar 
monie und Involution. 
103. Satz: Wenn nur der erste Harmoniesatz gilt, so ist mit 
ABGD zugleich A'B'C'I) harmonisch, wenn und nur wenn [AA'j, 
(BB'], [CG'] durch einen Punkt T gehen. 
Beweis: Ist (\A'B\, [ABT$) = U, so geht [TU] wegen der Har 
monie von A, B, G, D durch C, also auch durch G', d. h. auch 
Ä, B', G', D liegen harmonisch. 
104. Satz: Wenn nur der erste Harmoniesatz gilt, so ist mit 
AB Gl) zugleich A' B' C' D' harmonisch, wenn 5t = [AÄ], 53 =| BB'\, 
© = [CC], ® = \DD'\ durch einen Punkt gehen. 
Beweis: Ist [C' D] — ©, so sind nach Satz 103 zunächst (51©), 
(53©), (©©), (®©) und dann nach demselben Satze A', B r , G', D' 
harmonisch. 
105. Satz: Wenn nur der erste Harmoniesatz gilt, so gilt auch 
der zweite, und zwar nicht nur in einer Koordinatengeometrie. 
Beweis: Nach Satz 103 müssen (in derselben Bezeichnung) 
U, T, G } C’ harmonisch sein, da [AU], \BT], [CD\ durch einen 
Punkt B gehen. Setzt man also ([ UB], [TD]) = V, ([TB'], [ UD]) = U', 
so muß nach dem ersten Harmoniesatz wegen der Harmonie von 
U, T, G, C' die Gerade [ U' V] durch den Punkt C gehen. 
Also ist ([CU'], [TD]) = V, ([DU'], [TG]) = U, und [UV] 
geht durch A, d. li. es ist G, I), A, B harmonisch. 
106. Def initionen: Ein ebener Schließungssatz, welcher auf 
Grund des bloßen Desarguesschen Satzes bewiesen wird, heißt ein 
„Desarguesscher Schließungssatz“. Ein Desarguesscher Schließungssatz, 
der bloß auf Grund des ersten Harmoniesatzes beweisbar ist, heißt ein 
„harmonischer“ Schließungssatz, sonst ein „involutorischer“. Das 
Aufsuchen harmonischer resp. involutorischer Punkte zu gegebenen 
Punkten einer Geraden soll „harmonische“ resp. „involutorische“ 
Konstruktion auf der Geraden heißen. Gelangt man von denselben 
gegebenen Punkten einer Geraden durch zwei verschiedene harmo 
nische resp. involutorische Konstruktionen zu demselben Punkte, so 
erhält man einen „harmonischen resp. involutorisehen Schließungssatz 
auf der Geraden“. Die Gesamtheit dieser Sätze bildet die „harmo 
nische“ resp. „involutorische“ Geometrie auf der Geraden. In einer 
Geometrie auf der Geraden, in welcher Schließungssätze nicht gelten, 
gibt es überhaupt keine Sätze außer den selbstverständlichen, wie 
z. B. daß aus A = B, B = (=(=) C stets A = (4=) C folgt. Die ge 
troffenen Festsetzungen sind auf die Geometrie des Geraden- und 
des Ebenenbüschels sinngemäß zu übertragen. Alle diese Geometrien