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II. Projektive Geometrie. 
xy =j= yx 
ist. 
Ist dagegen für irgend zwei Wurzeln immer entweder 
xy — 1 = 0 oder 1 — 1 =0, 
x y 
so folgt ebenso 
xy = yx. 
112. Satz: Der Pasealsclie Satz ist unabhängig von den Grund 
sätzen der Verknüpfung und in der Ebene außerdem vom Desargues- 
schen Satze. 
Beweis: Es gibt Nicht-Pascalsche Geometrien in einem Raume 
nnd in einer Desarguesschen Ebene, nämlich (110) Koordinaten- 
Geometrien in Zahlensystemen mit nichtkommutativer Multiplikation. 
H3. Definition: Unter einem Wurf*) werde im folgenden 
ein Quadrupel von vier Punkten (J^A^A) einer Geraden verstanden, 
deren dritter in einem 
fest gegebenen Punkte 
A 0 , deren vierter auf 
einer fest gegebenen Ge 
raden | A' A" | liegt, welche 
nicht durch A 0 geht. 
114. Definition: 
Zwei Würfe (.PQA 0 A), 
(P' Q'A 0 A') zweier Ge 
raden heißen gleich (=), 
wenn und nur wenn Pund 
V mit (\A'A"\ \Q(/\) 
in einer Geraden liegen 
(s. Fig.). Diese Definition 
ist zulässig, da der Satz 
besteht: 
115. Satz: Sind zwei Würfe zweier Geraden einem dritten gleich, 
so sind sie einander gleich (s. Fig.). 
Beweis: Ist 
(P'Q'A 0 A') = (PQA 0 A) und (P" Q" A 0 A") = (PQA 0 A), 
so ergibt der Desarguessche Satz für die Dreiecke PP'P" und QQ'Q", 
daß ([P'P"|, \Q'Q"\) auf der Geraden 
[(LPPD, IQQ'l), &PP1, [QQ1)\ = \a'ä'\ 
s ) von Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage. I (Nürnberg 1H56) p. 15.