118 II. Projektive Geometrie. 
A 0 A 1 A 2 P 1 Q x P 2 Q 2 S'S" des Satzes 124 überein, also geht \U'V'\ 
durch E, also ist 
(U'E"‘A 0 A"') = (V'E IV A 0 A 1V ), 
d. h. 
(P + q) + r = (p + r) + q; 
daraus folgt mit Benutzung von 124: 
(P + i) + r = (2 + p) 4- r = (q + r) + p=p + (q -f r ). 
127. Satz: Es muß (AAAA) = 0 gesetzt werden: es ist 
(AAAA) = (A^iAA) — (^iAAA) 
(P\ 4= A ? 4= A j $i 4= A > 4= A)> 
und es gibt keine andern Würfe, welche als Summanden eine Summe 
unverändert lassen. 
Beweis: Damit 
(P 1 E 1 A 0 A 1 ) + (Q 1 E 1 A 0 A 1 ) = (P i E i A 0 A 1 ) 
ist, muß S' = ([AP 2 ] [A44]) [AP 2 ], also in P 2 liegen; dann ist 
Qi = (LAA] [AS']) = A- 
Es ist 
(AAAA) = (A44AA) 
nach Definition; ebenso 
(AAAA) = (&AAA)> 
da [A 0 Q 2 \, 11\ A 2 ] durch einen Punkt (A 2 ) von [A 1 A 2 ] gehen. 
128. Satz: Ist das Produkt zweier Würfe Null, dann ist wenigstens 
einer der Faktoren Null; d. li. für das System der Würfe besteht 
das Gesetz B (s. I 76 S. 23). 
Beweis: Ist 
(Pi &AA) (Qi^i AA) - (PJkA oA) - o, 
dann (127) entweder 1\ = M 0 oder li x = A 1 , und im ersten Fall ist 
(I\ Q 1 A 0 A 1 ) = 0, im zweiten (Q i It l A 0 A 1 ) = 0. 
129. Satz: Für die Addition 123 und Multiplikation 119 der 
Würfe gilt das erste distributive Gesetz: 
r (p fi- q) == rp + rq. (S. Fig. S. 119.) 
Beweis: Es sei 
p = №*’iA-k) - (p.e.AA), <i = »• “ 
p + q-(s 2 E 2 A 0 A 2 ), S' = P,e 2 ]YA1\\), 
rp - ( ) - (T.,E I A^A, 1 ), rq = (U 2 E 2 A 0 A 2 ) 
rp + rq = (W 2 E 2 A a A 2 ), W' - (L A t U 2 ] [A 2 T,]),