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IV. Affine Geometrie. 
reits bei den Grundsätzen vorhanden ist. Die Annahme der zweiten 
Hypothese bezeichnet die nun zu behandelnde affine*) Geometrie, in 
der nur noch teilweiser Dualismus herrscht. 
Uneigentliche Elemente und ihre Verknüpfungssätze. 
3. Es ist nur eine andere Ausdrucksweise, wenn wir von zwei 
sich nicht schneidenden Geraden ©, § einer Ebene sagen, sie 
schneiden sich in einem „uneigentlichen“ Punkte, definiert durch das 
Geradenpaar (©, ). Ebenso werden wir uneigentliche Geraden und 
Ebenen einführen. Die bisher betrachteten Punkte, Geraden und 
Ebenen sind also „eigentliche“. Demnach besteht, wie man der Er 
fahrung entnimmt, der folgende „Verknüpfungsgrundsatz der uneigent 
lichen Elemente“: 
4. Grundsatz: Durch jeden eigentlichen Punkt gehen nur eigent 
liche Gerade und Ebenen. Dieser Grundsatz ist natürlich unabhängig 
von allen früheren, da man ja ganz willkürlich in einer gegebenen 
Geometrie bestimmte Elemente als uneigentliche bezeichnen kann. 
Setzt man z. B. fest, daß in einer Koordinatengeometrie der Punkt 
(> = (1000) und alle durch ihn gellenden Geraden und Ebenen, und 
nur diese, „uneigentlich“ heißen sollen, so geht durch jeden andern 
Punkt P eine uneigentliche Gerade [OPJ und ein Büschel von un 
eigentlichen Ebenen. Diese Geometrie ist dual zur Euklidischen. 
5. Die Berechtigung, von uneigentlichen Punkten, Geraden, Ebenen 
zu sprechen, und zugleich die Zweckmäßigkeit dieser Ausdrucksweise 
wird sich ergeben, wenn wir nachweisen, daß man mit uneigentlichen 
Elementen genau wie mit eigentlichen alle Operationen des Ver 
bindens und Schneidens ausführen kann, daß also im Gesamtgebiet 
der eigentlichen und der uneigentlichen Elemente die Verknüpfungs 
grundsätze der projektiven Geometrie unverändert gültig bleiben. 
Diesen Nachweis führen wir im folgenden. 
6. Satz: Ein eigentlicher Punkt P und ein uneigentlicher Punkt 
Q — (©,*£)) haben genau eine Verbindungsgerade. 
Beweis: Liegt P nicht in {©§}, so ist [ {P©} {P£>}| die 
*) Affin nennt zuerst Euler (Introductio in analysin infinitorum. Tomus IT. 
Lausanne 1748. Caput XVIII art. 442 p. 239) eine projektive Verwandtschaft, 
bei welcher den unendlich fernen Punkten eben solche entsprechen. Die Ge 
samtheit der Eigenschaften affiner Figuren betrachtet als besonderes Gebiet der 
Geometrie zuerst Möbius (Der Baryzentrische Kalkül, Leipzig 1827, Kap. 3 = 
Ges. Werke I p. 177ff., vgl. auch: Anhang zu „Beobachtungen auf der könig 
lichen Universitäts-Sternwarte zu Leipzig usw.“, Leipzig 1823, p. 57 ff. = Möbius, 
Ges. Werke I p. 389 ff.