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IY. Affine Geometrie. 
Punkten stets eigentliche, den uneigentlichen uneigentliche entsprechen, 
heißt eine „Affinität“. 
Beobachtet man nun die Bewegung eines sogenannten starren 
Körpers, so bemerkt man erstens: Vier beliebige Punkte des Körpers, 
die in keiner Ebene liegen, gehen durch die Bewegung in vier Punkte 
über, die ebenfalls in keiner Ebene liegen; zweitens: zwei sich schneidende 
Gerade des Körpers gehen durch die Bewegung in zwei sich schnei 
dende Geraden über. Die erste Eigenschaft der Bewegung charak 
terisiert dieselbe als Kollinearität; in der Tat, ordnet man den fünf 
beliebigen Punkten A 0 , A 1} A 2 , A 3 , E des Körpers, von denen keine 
vier in einer Ebene liegen, diejenigen fünf Punkte zu Ä 0 , Ä lr Ä 2 , Ä 3 , E, 
in welche dieselben durch die Bewegung übergehen, alsdann den 
Punkten P h auf [A 0 A h ] die Punkte P h auf [M 0 so daß 
(P^AA) = (ÄÄAA) Q‘ = i, 2,3) 
ist, schließlich dem Punkte (nicht in {A 0 A i A 2 }) 
p-({p„AA) IAA AI |P 2 AAD 
den Punkt 
p = ({p„AÄI (PiAA) (PjÄäD) 
und analog für die in {A 0 A 1 A 2 } gelegenen Punkte, so wird hier 
durch eine Kollinearität im Raume hergestellt, in welcher jedem 
Punkte P des Körpers der ihm durch die Bewegung entsprechende 
Punkt des Körpers zugeordnet ist. 
Der zweiten Eigenschaft zufolge geht durch die Bewegung jeder 
eigentliche Punkt in einen eigentlichen Punkt, also, durch Betrachtung 
der umgekehrten Bewegung, jeder uneigentliche Punkt in einen un 
eigentlichen über, d. h. die Bewegung ist eine Affinität. 
Nimmt man drittens noch hinzu, daß man z. B. ein Lineal, d. h. 
einen Körper, dessen Oberfläche eine Ebene und in ihr eine gerad 
linige Kante enthält, in einer beliebigen Ebene an eine beliebige Ge 
rade beliebig anlegen kann, so erhält man, aus der Tatsache der Be 
wegung abgeleitet, den Grundsatz: 
35. G rundsatz: Es gibt Affinitäten, in denen eine beliebig ge 
gebene Gerade @ einer beliebig gegebenen Geraden SQ, einem beliebig 
gegebenen Punkte von ($ ein beliebig gegebener Punkt von !q, einer 
beliebig gegebenen Ebene von © eine beliebig gegebene Ebene von 
.!p entspricht. 
Mit diesem Grundsatz ist natürlich nicht der volle geometrische 
Inhalt der Bewegung starrer Körper erschöpft; er repräsentiert viel 
mehr nur den „graphischen“ Teil desselben, zu welchem später noch 
der „metrische“ hinzutritt. Aber dieser Grundsatz genügt, um den