Art. 35—38. 
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Satz 33 zu beweisen. Betrachtet man nämlich zwei Gerade ($ und §, 
so existiert nach 35 eine Affinität, welche © in überführt, in welcher 
also jedem uneigentlichen Punkt von © ein uneigentlicher Punkt 
von § und umgekehrt entspricht. Demnach enthalten beide Gerade 
gleichzeitig keinen, einen oder mehr als einen uneigentlichen Punkt. 
Demnach hat man außer der Geometrie ohne uneigentliche Punkte 
(projektive Geometrie) zwei „affine“ Geometrien zu unterscheiden: 
erstens die „Euklidische“, in welcher jede eigentliche Gerade genau 
einen uneigentlichen Punkt enthält: zweitens die „Nicht-Euklidische“ 
von Bolyai und Lobatschefsky, in welcher jede eigentliche Gerade 
mehrere uneigentliche Punkte enthält. 
Euklidische affine Geometrie. 
Für diese ist nach vorhergehendem der Grundsatz charakteristisch: 
36. G rundsatz: Auf jeder eigentlichen Geraden liegt genau ein 
uneigentlicher Punkt; also in jeder Ebene genau eine uneigentliche 
Gerade, im Baume genau eine uneigentliche Ebene. 
D. h. wenn wir jetzt die Ausdrucks weise „uneigentlicher Punkt“ 
fallen lassen und zur ursprünglichen Bedeutung derselben zurückkehren: 
Zu jeder Geraden ($ gibt es durch einen Punkt P außerhalb der 
selben in der Ebene {P©} genau eine parallele (j ) (s. Def. 37) 
Gerade. (Euklidisches Parallelen-Axiom.) 
Mit Bücksicht auf 33 kann dieser Grundsatz durch den spezielleren 
ersetzt werden: 
Zu einer bestimmten Geraden ($ gibt es durch einen bestimmten 
Punkt P außerhalb derselben in der Ebene {P©} genau eine pa 
rallele Gerade. 
Daß durch Annahme dieses Grundsatzes weder der Desarguessche 
Satz in der Ebene, noch der Pascalsche Satz aus den Verknüpfungs 
und den reinen Anordnungssätzen allein beweisbar werden, ist evident, 
da sich diese Geometrie von der projektiven nur durch die Bezeich 
nung bestimmter Elemente als „uneigentlicher“ unterscheidet. 
37. Definition: Zwei sich nicht schneidende Geraden einer 
Ebene heißen parallel (|j); ebenso zwei sich nichtschneidende Ebenen 
oder eine Ebene und eine sie nicht schneidende Gerade. Zu den Ele 
mentarkonstruktionen des Verbindens und Schneidens tritt nunmehr 
noch die des Parallelenziehens, d. h. des Verbindens eigentlicher und 
uneigentlicher Punkte. 
38. Satz: Sind zwei Gerade (3 t , ($ 2 einer dritten & parallel, so 
sind sie einander parallel.