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IV. Affine Geometrie. 
Beweis: Man lege durch und P auf © 2 die Ebene {P& 1 } = E. 
Diese schneidet die Ebene {@H$ 2 } in einem Punkte P, also in einer 
Geraden ($' durch P. Existierte ein Punkt (($($') auf®, so gingen durch 
ihn die Ebenen {P® x } und {($(3^), also auch ihre Schnittgerade 
gegen die Annahme, daß © (S^. Existiert kein Schnittpunkt (®®'), 
so muß ® 2 = ®' sein, da sonst durch P zwei Parallele zu ® exi 
stierten, d. h. ® x und ® 2 liegen in einer Ebene. Schnitten sich nun 
©0 in einem Punkte, so gingen durch diesen zwei Parallele zu 
®, gegen 36. Demnach schneiden sich ® 17 ® 2 nicht, liegen aber in 
einer Ebene, d. h. sie sind parallel. 
39. Definition: Eine Affinität, in welcher jeder uneigentliche 
Punkt und kein eigentlicher Punkt sich selbst entspricht, heißt eine 
„Schiebung“. 
40. Satz: Es gibt Schiebungen, und entsprechen den Punkten 
A, B in einer Schiebung die Punkte A, B', so sind entweder die Ge 
raden [AA], [BB'] koinzident oder parallel, und im letzteren Fall 
[AB] |j [A'B']. 
Beweis: Die Existenz der Schiebungen folgt entweder aus der 
der entsprechenden Projektivitäten, oder wie folgt. Sind A, Ä (=|= A), 
B nicht auf [AA] gegeben, so findet man B' als Schnittpunkt von 
[.BB'] [MM'] und [A'B'] [AB]. Durch zweimalige Anwendung 
dieser Konstruktion wird auch zu jedem Punkte B auf [AA'\ der 
entsprechende B' gefunden. Daß diese Konstruktionen eine Kolli- 
nearität definieren, folgt so: Liegen A, B, C auf [AA'\, dann aucli 
A, B', C. Liegen aber A, B, C in einer von [AA'\ verschiedenen 
Geraden, so folgt aus [A'B'J i [AB] = | A 6 r | [A C' |, daß [Ä B' \ = [A C’ \ 
ist. Kein eigentlicher Punkt P geht in sich über; denn wäre V = P, 
dann auch \ P'A'] — [PA], also A = A, d. h. die Schiebung wäre die 
Identität. Kein uneigentlicher Punkt geht nicht in sich über; denn 
geht die Gerade [AA'JJ] in [A'A"U'] über, so muß sowohl [AA] 
wie [A'A"] \BB'\, also [AA'] = [A'A"\ sein. Daß aber die an 
gegebene Konstruktion widerspruchslos und eindeutig möglich ist, 
folgt aus den folgenden Sätzen. 
41. Definition: Ein Punktpaar A, A heißt ein „Vektor“*). Zwei 
Vektoren AA', BB' zweier Geraden heißen gleich, wenn 
[AA] [BB'], [AB] \ [A'B'] 
ist. Diese Definition ist zulässig, da der Satz besteht: 
42. Satz: Sind zwei Vektoren zweier Geraden einem Vektor einer 
dritten gleich, so sind sie einander gleich. 
*) Hamilton, Elemente der Quaternionen, deutsch von Glan (Leipzig 1882) 1 p. 3.