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IY. Affine Geometrie. 
wozu noch nötig war, daß jedes Element ^ mit beliebig gewähltem 
Zähler oder Nenner repräsentiert werden konnte. Für eine Gruppe 
a, b, c, . . . von „allgemeinen Spiegelungen“, d. h. Verwandtschaften, 
für welche a 2 , b 2 , c 2 , . . . der Identität gleich sind, werden die Quo 
tienten den Produkten a • b gleich und man erhält Wieners „zwei- 
spiegelige“ Verwandtschaften*), bei denen aber hier nicht bloß nach 
der Gruppeneigenschaft, sondern nach der Zahlensystemeigenschaft 
gefragt wird. Aber die Einführung der Quotienten von Verwandt 
schaften statt der Produkte von Spiegelungen ist der weitertragende 
Gedanke. So sind z. B. die Vektoren (nach 67) zweispiegelige Ver 
wandtschaften, die gebundenen Tensoren (nach 96) nicht, wohl aber 
Quotienten von Verwandtschaften. 
Die Rechnungen mit Vektoren und mit gebundenen Tensoren 
können als die beiden einfachsten Fälle von Lösungen des Problems 
angesehen werden: 
Zahlensysteme von Projektivitäten aufzustellen. 
Weitere Fälle von Lösungen werden sich in der metrischen Geo 
metrie ergeben. 
99. Mit Rücksicht auf 48, 49 geht der projektive Grundsatz 
der Meßbarkeit in den folgenden „affinen Grundsatz der Meßbar 
keit“ über. 
Liegt A 1 zwischen A 0 und X und macht man 
A q A 1 — A 1 A 2 = A 2 A 3 = • ■ • = A k _i-A-k — • * 
so gibt es eine ganze Zahl h, so daß X zwischen A 0 und A k liegt. 
Für diesen Satz und seine Konsequenzen gelten also alle in der 
projektiven Geometrie für den projektiven Grundsatz der Meßbarkeit 
ausgesprochenen Sätze. Insbesondere wird durch ihn der Pascalsche 
Satz beweisbar. 
100. In dem affinen Grundsatz der Meßbarkeit (99) haben die 
Gleichungen 
A 0 A 1 = A 1 A i = usw. 
nur Bedeutung im Sinne der Definitionen 41, 44, deren Zulässigkeit 
in der Ebene nur unter Voraussetzung des Desarguesschen Satzes 
nachgewiesen wurde (42, 45) und nachgewiesen werden konnte. Um 
letzteres zu zeigen, definieren wir zwei Gerade der Nicht-Desarguesschen 
Geometrie (s. II 59 S. 68) als parallel, wenn ihre außerhalb des Kreises 
*) Wiener, Leipz. Akad. Ber., Math. phys. Kl. 43 (1891) p. 644.