Mengen. 
1. Grundbegriffe sind erstens das „Ding“ zweitens die „Menge“*), 
drittens die „Zugehörigkeit“ eines Dinges zu einer Menge oder einer 
Menge zu einem Dinge. 
2. Eine Menge wird „bestimmt“ durch Angabe der ihr zuge 
hörigen Dinge; ein Ding wird „bestimmt“ durch Angabe der ihm zu 
gehörigen Mengen. 
3. Jede Menge ist ein Ding; jedes Ding ist eine Menge, nämlich 
die Menge der dem Ding zugehörigen Mengen. 
4. Ist also a ein Ding der Menge b, so ist b ein Ding der Menge 
a. Denn besteht die Menge b aus den Dingen a, a', a", ..., so 
ist sie unter allen dem Ding a zugehörigen Mengen, d. h. den Dingen 
der Menge a, enthalten. (Von diesem Satze wird jedoch nicht Ge 
brauch gemacht.) 
5. Definition: Eine Menge a heißt „Teilmenge“*) einer Menge a, 
wenn jedes Ding der Menge a ein Diug der Menge a ist, und a heißt 
„eigentliche“ Teilmenge der Menge a, wenn außerdem nicht jedes Diug 
der Menge a ein Ding der Menge a ist. 
6. Satz: Ist a eine Teilmenge von b, b eine Teilmenge von c, 
so ist a eine Teilmenge von c. 
Beweis: Jedes Ding der Menge a ist ein Ding der Menge b, jedes 
Ding der Menge b ein Ding der Menge c, also usw. 
7. Definition: Zwei Dinge a und b heißen „gleich“ (a = b, b = a), 
wenn a eine Teilmenge von b und b eine Teilmenge von a ist, sonst 
„ungleich“ oder „verschieden“ (a =j= b, b 4= a). 
8. Satz: Zwischen den drei Paaren von Dingen («., b), (b,c), (c, a), 
die man aus drei Dingen a, b, c bilden kann, können nicht zwei Gleich 
heiten und eine Ungleichheit bestehen, oder: Sind zwei Dinge einem 
dritten gleich, so sind sie einander gleich. 
Beweis: Ist z. B. a = b, b = c, so ist (7) a eine Teilmenge von b, 
b eine Teilmenge von c, also (6) a eine Teilmenge von c. Ebenso 
ist c eine Teilmenge von b, b eine Teilmenge von a, also c eine Teil 
menge von a. Also (7) a — c. 
*) s. G. Cantor, Zeitsclir. f. Philos. 91 (1887) S. 9*2 u. 95, S. ‘240.