Die Kongruenzsätze. 
1. Im folgenden werden die Verknüpfungssätze und die Sätze 
der reinen Anordnung vorausgesetzt. Die Existenz oder Nichtexistenz 
uneigentlicher Elemente bleibt dahingestellt. Existieren uneigentliche 
Elemente, so werden auch deren Verknüpfungs- und reine Anord 
nungssätze angenommen. 
2. Definition: Durch zwei Punkte A, B einer Geraden werden 
alle Punkte derselben in zwei Klassen geteilt, so daß je zwei Punkte 
einer Klasse durch A, B nicht getrennt sind. Die Gesamtheit der 
Punkte einer der beiden Klassen wird daher durch Angabe eines 
ihrer Punkte eindeutig bezeichnet. Jede der beiden Klassen heißt 
Strecke AB = BA, wobei vorausgesetzt wird, daß dieser zweideutige 
Ausdruck in jedem einzelnen Falle durch Angabe eines Punktes der 
Klasse eindeutig fixiert wird. A und B heißen die Endpunkte der 
Strecke AB. Zwei Strecken AB, AG einer Geraden heißen inzident, 
wenn entweder B ein Punkt von AC oder C ein Punkt von AB ist. 
Im ersten Fall heißt jede der Strecke AB gleiche Strecke kleiner als 
jede der Strecke AC gleiche Strecke; im zweiten Fall heißt jede der 
Strecke AB gleiche Strecke größer als jede der Strecke AG gleiche 
Strecke. Die Strecken haben die folgenden Grundeigenschaften: 
3. Grundsatz: Wenn A, B, C gegebene Punkte, GX eine 
gegebene Strecke ist, so existiert genau ein Punkt I) so, daß die 
Strecke GD der Strecke AB gleich und der Strecke GX inzident ist. 
Dieser Grundsatz ist von den vorhergehenden Grundsätzen unab 
hängig. Denn läßt man z. H. in der gewöhnlichen Euklidischen 
Geometrie der Ebene mit rechtwinkligen Koordinaten nur Punkte 
(x, y) mit rationalen x, y zu, so existiert auf der durch die Punkte 
(0, 0), (0, 1) gehenden Geraden von (0, 0) an keine Strecke, die der 
Strecke der beiden Punkte (0, 0), (1, 1) gleich ist. ' * 1 
4. Definition: Sind A, B, G Punkte einer Geraden und sind 
die Strecken BA, BC nicht inzident, so heißt diejenige Strecke AG, 
von welcher B ein Punkt ist, die Summe der Strecken AB und BC.