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V. Metrische Geometrie. 
Die Beziehung zwischen den Strecken AB, АС, BC wird durch 
AB + BC = AG 
dargestellt, wobei die Auffassung als Addition willkürlich ist. Die 
Strecken-Addition hat aber die folgende Grundeigenschaft: 
5. Grundsatz: Summen gleicher Strecken sind gleiche Strecken, 
d.h. aus AB+BC=AC und AB = A'B', BC=B'C, soll ÄC=AC 
folgen, falls ÄC diejenige Strecke ist, welcher B' angehört. 
6. Satz: Die Streckenaddition ist assoziativ und kommutativ; 
die Strecken АA sind als einander gleich und gleich Null anzusehen. 
Durch die Summe zweier Strecken und den einen Summanden ist der 
andere eindeutig bestimmt. 
Beweis: Es ist 
(А В + В С) + CD = А С + (' 1) = AI) = А В + ВI) = А В + (В ( 1 + CD). 
Mit Rücksicht auf 2 ist А С == CA, also 
AB + BC = AC = CA = CB + В А = ВС + А В. 
Aus AB -\- ВХ = AB folgt АХ = AB also (3) eindeutig X = В, 
d.h. В В = 0. Aus AB+ BX = AC folgt AI = AC also ein 
deutig X = C. Aus А А + AB = AB = AB + В В =± В В -f AB 
folgt also А А = В В. 
7. Definition: Das System aller mit der Strecke AB inzidenten 
Strecken des Punktes A soll Halbgerade AB | heißen. In bezug auf 
zwei Halbgerade AB j, AC | eines Punktes A zerfallen alle übrigen 
Halbgeraden desselben Punktes A und derselben Ebene {ABC} in 
zwei Klassen. Jede der beiden Klassen definiert einen „Winkel“ 
L ВАС = CAB, so daß dieser zweideutige Ausdruck in jedem ein 
zelnen Falle durch Angabe einer der Halbgeraden der betreffenden 
Klasse eindeutig fixiert wird. Die Halbgeraden AB |, HC] heißen 
die Schenkel des Winkels, A seine Scheitel, [ABC] seine Ebene. 
Zwei Winkel CAB und C'AB heißen inzident, wenn Schenkel HC| 
zur Halbgeraden-Klasse von G A B oder A C | zur Halbgeraden-Klasse 
von CAB gehört. Im ersten Falle heißt jeder dem Winkel CAB 
gleiche Winkel kleiner, im zweiten Falle größer als jeder dem Winkel 
C'AB gleiche Winkel. Sind H7j»], AB' \ zwei Halbgeraden einer Ge 
raden, ebenso AC], AC] zwei Halbgeraden einer Geraden, so heißen 
die Winkel BAB', ('AC' gestreckte, je zwei nicht inzidente Winkel 
ВАС, ВАС' Nebenwinkel und je zwei Winkel ВАС, В АС' des 
selben Nebenwinkels heißen Scheitelwinkel. Ist ein Winkel einem 
seiner Nebenwinkel gleich, so heißt er ein Rechter. Geraden, die sich 
unter einem Rechten schneiden, heißen senkrecht (_L) oder Lote zu