Art. 19—26. 
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0= C', was zu beweisen war. Übrigens wird die Annahme eines 
dieser Sätze zum Grundsatz entbehrlich, wenn man statt 11 den 
Satz 13 zum Grundsatz wählt. 
22. Satz: Aus AB = A'B', AC = A'C', BC=B'C' folgt 
ABC^A'B'C'. 
Beweis: Es sei i C"A'B' — CAB und nicht inzident iC'A'B'- 
ferner sei C"Ä = CA, also (13) C"A'B'^CAB. Ferner A'C'C"-^ 
A'C"C', also LA'C'C"=A'C"C', ebenso folgt C'B'C"^C"B'C', also 
LB'C'C"=B'C"C', also (17) LÄ C'B'= A'C" B'= ACB, also (13) 
A'C'B'^ACB 
23. Def inition: Sind MA = MB zwei gleiche nicht inzidente 
Strecken einer Geraden, so heißt M ein Mittelpunkt derjenigen Strecke 
AB, welche den Punkt M enthält. 
24. Satz: Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt. 
Beweis: Man wähle C außerhalb [AB], mache iC'AB = CBA, 
G'A = CB, also C'ABc^ CBA. Von den beiden Punkten ([AC][BC']) } 
([AC'][BC]) ist jedenfalls einer stets eigentlich, da er zwischen C, 
A resp. C, B liegt. Ist D = ([AC][BC']) eigentlich, also (14) I)AB 
~ DBA, DA = DB, so mache man LDAB=D'AB und nicht inzi 
dent, dann DA=D'A, also DAB^lD'AB-, dann ist M=([DD'][AB]) 
eigentlich, weil zwischen A und B gelegen, und es ist DAB^D'AB 
(13), DB = D'B, also (22) DAD'^DBD', also L ADM = BDM, 
also (13) DAM DBM, also AM = MB. Gäbe es noch einen 
zweiten Punkt M', so wäre (z. B.) MB= AM = AM' -f M'M = M'B 
+ M'M=M'M+MB+M'M, also (6) M'Al + M'M = 0, woraus 
M' M = 0, M' = M folgt. 
25. Satz: Durch den Punkt M auf [AB] geht genau eine, durch 
jeden andern mindestens (vgl. 38) eine Senkrechte zu [AB]. 
Beweis: Liegt M auf [AB], so mache man MA = MB nicht 
inzident und verfahre wie in 24. Liegt M nicht auf [AB] und ist 
MAB kein Rechter, so mache man ¡_MAB = M'AB nicht inzident 
und MA = M A, N = ([AB] [MM'])’ dann ist N zwischen M und 
M' gelegen, also eigentlich, und ANM^ANM', also LANM = 
AN31' gleich einem Rechten. 
26. Satz: Ist M der Mittelpunkt von AB, und sind MA', 3IB' 
nicht inzidente Strecken einer Geraden, und L Al AM = B'BM, so 
existiert zu [AA'], \BB'\ eine gemeinsame Senkrechte. 
Beweis: Sei [31P] senkrecht [AA r ], P auf [AA'], BQ = AP, 
so daß L QMB dem Scheitelwinkel von P3IA inzident, so ist 
AMP^BMQ, also L AMP = BMQ, d. h. PMQ ist eine Ge 
rade, und [_ MQB — MPA, also auf beiden Geraden senkrecht. 
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