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V. Metrische Geometrie. 
= A'C'B', CA = CA, CB=C'B', so sei LCAB=CÄB°, AB = 
AB 0 , also (41), wegen AC = ÄC', auch LCBA = C'B°Ä. Dann 
müßte (43) L A CB = A C'B°, also (44) B° auf [CB'] und CB 0 ^CB 
= C'B', also (45) B°=B', also /_ C'AB'=CAB sein; was zu beweisen war. 
47. Um von einem uneigentlichen Punkte C auf eine eigentliche 
Gerade [AB] ein Lot zu fällen, verbinde man C mit dem Schnitt 
punkt zweier Lote von [AB] in {ABC} 
(vgl. 38). 
48. Um einen uneigentlichen Winkel 
ACBzu halbieren, halbiere man (s. Fig.) LABC 
durch MB, L CAB durch ATA; ziehe [MC X ]A 
[AB), C x auf [A B], mache BC X = BA X , A x auf 
BC], AC X = AB X , B x auf AC], und halbiere 
L A l MB x durch MC 0 . Dann ist MC 0 die Winkel 
halbierende von ACB. Denn es ist MBC X 
^MBA X , ALA C X ^MAB X , also MA X = MB X , 
CA X A1 = CB X M; also 
M([MC°] [.AC]) = M{JMC°] [BC]), 
d. h. (42) [AIC 0 ] geht durch C, und es ist 
(nach 43) L MCA, = A£CB X . 
Die Schließungssätze. 
49. Für den ebenen Desarguesschen Satz ist ein Beweis auf 
Grund der Kongruenzsätze allein ohne Annahme der räumlichen Ver 
knüpfungssätze bisher nicht gegeben worden.*) Dagegen kann man 
unter Voraussetzung des Desarguesschen Satzes und der Kongruenz 
axiome den Pascalschen Satz beweisen.**) Unter Voraussetzung des 
Desarguesschen Satzes ist die ebene Geometrie Schnitt einer räum 
lichen; man kann daher ohne weiteres in der räumlichen operieren. 
Alsdann ist (s. II 60 S. 68) der Pascalsche Satz, daß ([AB'][BA'\), 
[[AC'][CA']), ([BC'][CB']) auf einer Geraden liegen, wenn A, B, C 
auf einer Geraden @ und A', B', C auf einer Geraden ($' und &, in 
einer Ebene liegen, gleichwertig dem Satze: wenn von den 16 Schnitt 
punkten eines unebenen Geradenquadrupels (3 X , ($ 2 , mit einem 
*) Für den Fall, daß auf jeder Geraden mehr als ein uneigentlicher 
Punkt liegt, geht die Möglichkeit eines solchen Beweises hervor aus Hilbert, 
Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie. Math. Ann. 57 
(1903) p. 137 = Grundlagen der Geometrie 2. Aufl. (Leipzig 1903) p. 107 Anhang III. 
**) Vgl. Schur, Math Ann. 51 (1899) p. 401. 
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