12 I. Grundlagen der Arithmetik. 
geordneten Teilmenge angehörenden Dingen der Menge ein Ding der 
Teilmenge m liegt. 
Folgerungen: 1) Eine relativ dichte Teilmenge ist (absolut) 
dicht, aber im allgemeinen nicht umgekehrt. 
2) Eine relativ dichte Teilmenge einer planar geordneten Menge 
besteht aus mindestens vier nicht einer linear geordneten Teilmenge 
angehörenden Dingen, ist also (25) planar geordnet. Denn ist die 
Teilmenge uneigentlich, so ist der Satz evident, ist sie eigentlich und 
(z. B.) a rechts (b. c), so existieren Dinge a, /3, y, d der Teilmenge, so 
daß d zwischen (a,b,c), a zwischen (b, c, d), ß zwischen (a, c, d), y 
zwischen (a, b, d) liegt. Dann liegt ß links («, d) und y liegt rechts 
(«, d), so daß «, ß, y, d keiner linear geordneten Teilmenge an 
gehören. 
29. Satz: In einer planar geordneten dichten Menge wird jedes 
Ding durch seine Ordnungsbeziehungen zu je zwei, mit ihm nicht einer 
linear geordneten Teilmenge angehörenden Dingen einer relativ dichten 
Teilmenge eindeutig bestimmt. 
Beweis: Sind a =(= b zwei Dinge der Menge, so gibt es ein Ding 
x der relativ dichten Teilmenge, so daß a, b, x nicht einer linear ge 
ordneten Menge angehören; denn sonst wäre, entgegen 28 Folgerung 2 
die relativ dichte Teilmenge linear geordnet. Dann gibt es ein Ding 
y der relativ dichten Teilmenge, welches zwischen a, b, x liegt; also 
ist y rechts (b, x), rechts (x, a), also b rechts (x, y), a links (x, y). 
D. h. a und b haben mindestens zu dem Paar (x, y) der relativ dichten 
Teilmenge nicht dieselbe Ordnungsbeziehung. 
30. Definition: Eine planar geordnete Menge heißt „stetig“, 
wenn jedem mit 21 verträglichen System von Ordnungsbeziehungen 
eines Dinges x zu den Dingen einer Teilmenge wenigstens ein Ding 
der Menge entspricht. 
Folgerung: Eine planar geordnete stetige Menge ist dicht, denn 
ist (z. B.) a rechts (b, c), und sind a, b, c Dinge einer planar ge 
ordneten stetigen Menge, so existieren Dinge x, die den Ordnungs 
beziehungen genügen: 
x rechts (b, c), rechts (c, a), rechts (a, b), d. h. x zwischen (a, b, c). 
31. D ef'inition: Eine aus mindestens fünf verschiedenen Dingen 
bestehende Menge heißt „überplanar*) geordnet“, wenn erstens durch 
*) Es wird hier nur die niedrigste überplanare Anordnung betrachtet, weil 
zunächst nur diese geometrisch in Betracht kommt, und weil schon hier die 
allgemeinen Gesetze deutlich hervortreten.