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V. Metrische Geometrie. 
von {PQR}, also von [PO] in allen Ebenen von [PO] liegen auf 
der Fußpunktgeraden von P in {PQR]. Demnach hat jede eigent 
liche Gerade eine Polare. Je zwei Lote einer eigentlichen Ebene liegen 
in einer Ebene, gehen durch einen Punkt; also gehen alle durch einen 
Punkt d. h. jede eigentliche Ebene hat genau einen Pol. Ist S der Pol 
von [PQR), so ist 8 ein Lotschnittpunkt von [PQ] und von [PR], 
d. h. Schnittpunkt der Polaren von \PQ] und [PP]. Irgend drei Ge 
rade iß, Q, 97 eines Punktes 0, die nicht in einer Ebene liegen, haben 
Polaren, die zu je zweien in einer Ebene liegen; sie gehen nicht alle 
drei durch einen Punkt S, denn der wäre zugleich Pol von {$ßQ}, 
{iß97}, |D9i}, was nach vorhergehendem unmöglich; demnach liegen 
die drei Polaren, also alle Polaren der Geraden von 0 in einer Ebene, 
seiner Polarebene. Demnach hat jeder Punkt eine Polarebene, und 
liegt ein Punkt in einer eigentlichen Ebene, so geht seine Polarebene 
durch den Pol der Ebene. 
Auf jeder eigentlichen Ebene einer uneigentlichen Geraden iß 
= [PQ] liegt jeder Punkt von iß; also liegen deren Pole in den 
Polarebenen aller Punkte von iß, also in der Schnittgeraden der Polar 
ebenen von P und Q. Also hat jede uneigentliche Gerade eine Polare. 
Je zwei Gerade [PQ], [PP] einer uneigentlichen Ebene {PQR} 
haben Polaren, die in der Polarebene von P liegen, sich also schneiden; 
je drei Gerade [PQ\, [PP], [QR], die nicht durch einen Punkt gehen, 
haben also Polaren, die sich zu je zweien schneiden; sie können nicht 
in einer Ebene liegen, denn diese wäre Polarebene von P, von Q und 
von P, gegen das oben Bewiesene. Also gehen sie durch einen Punkt, 
den Pol der uneigentlichen Ebene {PQR}. Also hat jede uneigent 
liche Ebene einen Pol, und liegt ein Punkt in einer uneigentlichen 
Ebene, so geht seine Polarebene durch deren Pol. 
Koordinaten, nicht-Euklidisch.*) 
81. Es werden jetzt, wie in II150 S. 135, Koordinaten eingeführt, 
aber zu dem Zwecke die Grundpunkte A 0 , A 1} A 2 , A 3 in folgender Weise 
gewählt. A 0 sei ein beliebiger eigentlicher Punkt, A t ein beliebiger 
von A 0 verschiedener Punkt in der Polarebene von A 0 , A 2 ein be 
liebiger von A 0 und A 1 verschiedener Punkt in der Polargeraden von 
[A 0 A 1 ], also in den Polarebenen von A 0 und von A 1} A 3 sei der Pol 
der Ebene {A 0 A t A 2 }. Demnach ist noch {A 0 A 2 A 3 } die Polarebene 
*) Anders als im folgenden begründet Schur, Math. Ann. 55 (1902) p. 205 
die nicht-Euklidische Koordinatengeometrie.