Art. 82—88. 
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AB' + B'C’ + AC' 
(s. 70 Zusatz), also liegen A } B', C’ in einer Geraden. 
85. Satz: In jeder Kongruenz sind entsprechende Winkel gleich. 
Beweis: Entsprechen A', B', C' den Punkten A, B, C, so ist 
AB=AB', AC=A'C', BC=B'C', also (22) Winkel ABC=A'B'C'. 
86. Satz: Ordnet man in einer Kongruenz einem uneigentlichen 
Punkte ([A B~][CB]) stets den Schnittpunkt der entsprechenden Geraden 
([AB'] [C'D']) zu, so entspricht auch jedem uneigentlichen Punkt 
ein uneigentlicher Punkt und drei Punkten einer Geraden drei Punkte 
einer Geraden. 
Beweis: Aus ÄB'C'D' ^ ABCD folgt wie in 37, daß mit 
([AB] [CJ)J) zugleich ([AB'] [C'JD']) uneigentlich ist. Daß drei 
Punkten einer Geraden drei Punkte einer Geraden entsprechen, folgt 
durch kongruente Übertragung einer zugehörigen Desarguesschen Figur. 
87. Satz: Jede Kongruenz ist eine Projektivität, dem Pol einer 
Ebene entspricht der Pol der entsprechenden Ebene; und den Punkten, 
die in ihrer Polarebene liegen, entsprechen Punkte, die in ihren Polar- 
ebenen liegen. 
Beweis: Daß jedem eigentlichen oder uneigentlichen Punkt genau 
ein Punkt entspricht und drei Punkten einer Geraden wieder drei 
Punkte einer Geraden entsprechen, folgt aus 74, 76. Ferner ent 
spricht jedem rechten Winkel nach 75 ein rechter Winkel. Da die 
Beziehung zwischen Pol und Polarebene (teils direkt, teils indirekt) 
auf den rechten Winkel gegründet war, so entspricht auch Pol und 
Polarebene immer Pol und Polarebene. Da schließlich in jeder Pro 
jektivität koinzidierenden Elementen koinzidierende Elemente ent 
sprechen, so entspricht auch jedem Punkt, der in seiner Polarebene 
liegt, wieder ein Punkt, der in seiner Polarebene liegt; d. h. jeder 
Punkt, der der Gleichung 
— x 0 2 -f x[ + xA + x. A 2 = 0 resp. x 0 2 -P x[ + x[ -f- x^ = 0 
genügt, entspricht einem Punkt derselben Beschaffenheit. 
88. Satz: Genügen die Punkte, die in ihren Polarebenen liegen, 
der Gleichung 
— x 0 ' 2 + Xü — X 2 2 -f iC 3 2 = 0, 
so gilt nicht immer der Satz, daß 46’ + CB =p AB ist, wenn A, B, C 
in keiner Geraden liegen. 
Beweis: Durch einen eigentlichen Punkt A(a 0 a 1 a 2 a 3 ) und die 
Gerade &: n 
X Q — x t == 0