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Y. Metrische Geometrie. 
lege man die (eigentliche) Ebene E: 
(a 2 — a s ) (x 0 — x x ) = (a 0 — a x ) (x 2 - x 3 ); 
die Koeffizienten a 2 — a 3 , a 0 — a x verschwinden jedenfalls nicht beide, 
da sonst 
— a 0 2 -f a x 2 — a 2 + a 3 2 = 0, 
also A nicht eigentlich wäre. In der Ebene E liegt außer ($ auch 
die Gerade § =]= ©: 
0 2 - a 3 ) (x 0 - x x ) = («o — a x ) (x 2 - x 3 ) 
( a o %) (Ao “h ^i) “ ( a % a i) (%% "h #3) 
und jeder Punkt von © und § genügt der Gleichung 
— x 0 2 -f x x - — x 2 2 + x 3 2 = 0. 
Seien jetzt B, A x , B x weitere eigentliche Punkte von E = {($£)}, 
und Strecke AB = A X JB X . Ist / = ([J.jß] ©), J=([AB]$q), I x = 
([A x B x ) ®), J x = so existiert eine Kongruenz, in welcher 
A, B den A x , B x entsprechen; also eine Projektivität, in welcher 
A, B, I, J den A x , B x , I x , J x (mit Erhaltung der Ordnung) entsprechen. 
Demnach sind die Würfe ABIJ, A X B X I X J X gleich. Sei jetzt AB=^A X B X , 
aber A X B' — AB und inzident 
A X B X , so ist 
(ABJM - 
(ASi;X) ■ (B’BJM - 
(ABIJ) ■ (B’BJM, 
also 
(ABJM + iABIJ), 
da 
{B'B X I X J X )A= 1 für B'A=B X 
ist. Sei B zwischen A, B 
(s. Fig.), C =}= B ein eigent 
licher Punkt auf [B (©§)], 1' = 
([CB]®), r-([AC\®\ J' = 
([CB]$), J"= ([AC]$Q). Dann 
folgt aus 
AB = AB + BB 
zunächst 
ABIJ = ACI''J', BBIJ= CBJ'J"