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Y. Metrische Geometrie. 
In dieser Kongruenz entspricht dem Punkte (x 0 = 0, x 1 = 0, x 2 = 0) 
der beliebige Punkt (u 0 , iq, u 2 , m 3 ); dieselbe kann als Schiebung be 
zeichnet werden. 
93. Aus einer Schiebung, einer Drehung und eventuell einer 
Spiegelung läßt sich offenbar jede Kongruenz zusammensetzen. Dem 
nach sind in 
y = a 
i x -\- u 
1 -¿pu x 
f 
a 
l 
alle automorphen Transformationen von 
xx = p 
also alle Kongruenzen enthalten. Die bloß aus Schiebungen und 
Drehungen zusammengesetzten Kongruenzen sollen Bewegungen heißen; 
die anderen Symmetrien. 
94. Setzt man au = b, also au = b', so kann die Transfor 
mation*): 
y 
x -f- u 
j*U X -f- 1 
oder 
ax -f- b 
y = pb'hc + a 7 
durch die „Biquaternion“ a -f- bj repräsentiert werden, für ivelche 
noch ij -f- ji t = i 2 j 4- ji 2 = 0 festgesetzt wird. Der aus zwei Trans 
formationen 
ax -\-b cy -j- d 
y pb'x -f- a ’ 2 pd'y -f- c 
zusammengesetzten Transformation 
Ax-\-B 
Z ~ pB'x + A' 
entspricht das Produkt der zugehörigen Biquaternionen: 
A + Bj — (c -f- dj) (a -f bj). 
Eine Biquaternion a -j- bj heißt elliptisch im Falle j 2 = —1, hyper 
bolisch im Falle j 2 = 1, (parabolisch im Falle j 2 = 0). 
Aber nicht jede Biquaternion 
( a o + h + h ( h + h h a vi) + (p Q -(- i 1 b t -f- i 2 b 2 + \ i 2 b 12 )j 
repräsentiert eine Kongruenz, sondern nur diejenigen, für welche 
*) Vgl. hier und im folgenden des Verfassers Aufsätze: Über komplexe 
Zahlen in mehr Dimensionen (Königsberger Physikalisch-ökonomische Gesell 
schaft 1898). Über Bewegungen und komplexe Zahlen (Math. Ann. 55, 1902, p. 585).