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Y. Metrische Geometrie. 
liegen, um welche umgewendet [MR] mit Berücksichtigung des Sinnes 
in \B'Ä | übergeht. Geht das Dreieck ABC durch Umwendung um 
31 in A 1 B 1 C 1 über, so sei 33 diejenige senkrechte Halbierende von 
A'A 1} welche in der Halbierungsebene des Winkels der Halbebenen 
[A'B']C'} und [H 1 1? 1 ]C' 1 } liegt; dann geht A 1 B i C i durch Um 
wendung um 33 in A B' C’ über. Demnach ist die Bewegung als 
Folge der beiden Umwendungen um 3t und 33 oder als Quotient ^ 
dargestellt.*) 
iß 
116. Die Bewegung ^ führt die (resp. jede) gemeinsame Senk 
rechte @ von 31 und 33 in sich über und verschiebt jeden Punkt von 
©> um den doppelten Abstand der Geraden 31 und 33; ferner dreht 
sie jede Ebene von @ um den doppelten Winkel der Ebenen {@31} 
und {@ 33}, sie besteht also in einer „Schraubung“ um die „Schrau 
bungsachse“ @.**) 
Um zwei Bewegungen zusammenzusetzen, stelle man sie als 
und ~ dar, indem man als Umwendachse 33 die (resp. eine) ge 
meinsame Senkrechte ihrer Schraubungsachsen wählt; dadurch sind 
die beiden anderen Achsen 3t, Gü bestimmt und es wird 
21 25 _ 2t 
sb ‘ e (i 
die zusammengesetzte Bewegung.***) 
117. Definition: Ein derartiges Entsprechen zwischen den 
Punkten des Raumes, daß ähnlichen Figuren ähnliche Figuren ent 
sprechen, heißt eine „Ähnlichkeit“. Eine Ähnlichkeit, der in 104 be 
trachteten Art heißt eine Dehnung; dieselbe wird durch das Verhält 
nis (OAA') charakterisiert. Ist dasselbe gleich k, so wird die Dehnung 
durch die Transformation 
y = kx 
repräsentiert. Insbesondere entspricht dem Verhältnis k =—1 eine 
Spiegelung an 0. Eine Dehnung heißt positiv oder negativ, je nach 
dem ihr Verhältnis es ist. Eine negative Dehnung ist aus einer 
positiven und einer Spiegelung an 0 zusammenzusetzen. 
118. Eine aus einer Drehung und einer positiven Dehnung mit 
festem 0 zusammengesetzte Ähnlichkeit heißt eine „Mutation“ um 
*) s. Wiener, Leipz. Ber., Math.-phys. Klasse, 42 (1890) p. 76. 
**) Diese einfache Herleitung eines alten Satzes (s. z. B. C. Neumann, 
Math. Ann. 1, 1869, p. 195) verdankt man Wiener 1. c. p. 76. 
***) Wiener 1. c. p. 13.