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I. Grundlagen der Arithmetik, 
über (cl, a,b), d. h. x zwischen a, b, e, cl; sei zweitens x über (a, b, e), 
so folgt x über (a, b, e), unter (b, e, c) = (b, d, c), über (e, c, a) = (d, c, a), 
unter (cl, a, b), cl. b. x zwischen (a, b, e, c). 
2) Aus a über (x, y, z), b nicht unter (x, y, z), c zwischen (a, b), 
folgt c über (x, y, z). Denn ist im speziellen Falle b auf (x, y, z) und 
erstens (x, y, z) = (x, b, z), so folgt aus a über (x, y, z) = (x, b, y), x 
unter (a, b, z) = (c, b, z), also c über (x, b, z) = (x, y, z)\ ist zweitens 
(x, y, z) = (x, z, b), so folgt a über (x, y, z) = (x, z, b), x über (a, z, b) = 
(c, z, b), c unter (x, z, b) = (x, y, #); ist drittens b auf (x, z), nicht auf 
(x, y), so ist entweder (x, y, z) = (x, b, y) oder = (x, y, b) usw.; ist 
viertens b auf (x, y) und (x, z), also, da (x, y) 4= (%, z), b = x, so folgt 
aus a über (x, y, z), x über (a, y, z) = (c, x,y), c über (x, y, z). Im 
allgemeinen Falle folgt aus a über (x, y, z), b über (x, y, z), daß (z. B.) 
z nicht zwischen a, b, x, y, also nicht zwischen a,c,x,y, oder c,b,x,y. 
Nun findet in jedem der acht möglichen Fälle: 
b nicht über (unter) (a,x,y), nicht über (unter) (a, x, z), nicht 
über (unter) (a,z,y) wenigstens jedesmal einer der durch Vertauschung 
von x, y, z aus 
z nicht über (a, b, x), nicht unter (a, b, y) hervorgebenden sechs 
Fälle statt, und es folgt (z. B.) 
z nicht über (y, b, d) = (y, c, d), nicht unter (b, a, x) = (c, a, x), 
unter (a, x, y), also z unter (x, y, c), da sonst z zwischen (?/, c, a, x) 
folgen würde. 
35. Satz: Sind a, b, c, d, e fünf Dinge einer überplanar geordneten 
Menge, deren keine vier einer planar geordneten Teilmenge angehören, 
so liegt entweder eins oder keins der fünf Dinge zwischen den vier 
andern. 
Beweis: Ist z. B. 
a über bed, bde, bec, ede, 
b „ dca, eda, cea, eclc, 
c „ abd, aeb, aed, bde, 
cl „ acb, abe, ace, bec, 
e „ adb, abc, ade, bed, 
so ist keins der fünf Dinge zwischen den vier andern. Ist aber z. B. 
e zwischen abe, also: 
so folgt: 
e über abc, bde, eda, dba, 
a über bec, bde, ced, cleb, usw. 
also keins außer e zwischen den vier andern.