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V. Metrische Geometrie. 
V 
also b = b' sein. 
124. Diese Überlegungen sind fast unmittelbar auf den Nicht- 
Euklidischen Fall zu übertragen, in weichem keine uneigentlichen 
Punkte existieren, indem man als Inhaltsmaß eines Dreiecks den stets 
positiven Exzeß der Winkelsumme über 2 Rechte, als Inhaltsmaß eines 
Polygons die Summe der Inhaltsmaße der es bildenden Dreiecke ein 
führt. Denn auch hier existiert eine Transformation eines Polygons 
in ein inhaltgleiches rechtwinkliges Dreieck gegebener Kathete (vgl. 
die unter 59 angewandte Lexell- 
sche*) Umformung), und auch hier 
ist das Inhaltsmaß gleich bei in 
haltgleichen Polygonen, wovon man 
sich nur bei einem in zwei Drei 
ecke transversal zerlegten Dreieck 
zu überzeugen braucht. Es ist näm 
lich (s. Fig.) 
A 
« + ß + y - 
( ß T - ß d - 
(«" + y + à' 
Wären 
2 Rechte = 
• 2 Rechte) + 
— 2 Rechte), 
rechtwinklige 
A 
nun zwei 
Dreiecke, OAB, OAC (s. die zweite Fig.) die nur in einer Kathete 
übereinstimmen, inhaltgleich, so wäre , , _ ^ , 
’ 6 ? ' a + ß —1 Rechten = 
a -f- a + y — 1 Rechten, 
also 
a A ß + y = 2 Rechten, 
gegen 59. 
Im Nicht-Euklidischen 
Fall mit uneigentlichen 
Punkten leistet der stets 
positive Defekt der Winkel 
summe an 2 Rechten denselben Dienst als Inhaltsmaß, wenn man 
keinen Anstoß daran nimmt, daß bei der fraglichen Transformation 
*) Lexell, Acta Petropolitana 1781 I. Vgl. auch Euler, Nova Acta Tom. X 
p. 47. Legendre, Géométrie, Note X. J. Steiner, Crelles Journal 2 (1827) p. 45 
= Werke I (Berlin 1881) p. 101. Lobatschefsky, Neue Anfangsgründe der Geo 
metrie, deutsch von Engel (Leipzig 1898) § 68 p. 133. Gauß, Werke VIII p. 292.